Séries et intégrales impropres

[jojolartiste]

Bonjour,

Dans notre cours, en supposant une fonction f positive, intégrable et décroissante, alors la série \sum_{k=0}^n k = \f(k) et l'intégrale impropre int_a^{+\infty}f(x)dx sont de la même nature.

Pourquoi supposer que f est décroissante? Je n'arrive pas à mettre la propriété en défaut avec une fonction croissante qui tendrait vers une limite finie ou infinie.

D'autre part, la preuve pratiqué en cours me parait marcher pour une fonction croissante:

Soit f une fonction croissante, positive et intégrable sur ]a ; \infty [ alors \forall x \in ]n ; n+1[
f(n) \leq f(x) \leq f(n+1)
Donc f(n) \leq int_n^{n+1}f(x)dx \leq f(n+1)
donc \sum_{k=0}^{+\infty}k=\f(k) et \sum_{k=0}^n k = \f(k) sont de la même nature. (En décomposant int_a^{+\infty}f(x)dx comme int_a^{E(a)+1}f(x)dx + int_{E(a)+1}^{+\infty}f(x)dx)

Voilà je me demande pour quoi imposer cette condition dans tous les énoncés de cette proposition que je vois.
Merci d'avance et désolé si tout n'est pas hyper compréhensible je ne suis pas très à l'aise avec ce traitement de texte!
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[jojolartiste]

Voilà qui est plus lisible:

Bonjour,

Dans notre cours, en supposant une fonction f positive, intégrable et décroissante, alors la série et l'intégrale impropre sont de la même nature.

Pourquoi supposer que f est décroissante? Je n'arrive pas à mettre la propriété en défaut avec une fonction croissante qui tendrait vers une limite finie ou infinie.

D'autre part, la preuve pratiqué en cours me parait marcher pour une fonction croissante:

Soit f une fonction croissante, positive et intégrable sur ]a ; [ alors x ]n ; n+1[
f(n) f(x) f(n+1)
Donc f(n) f(n+1)
donc et sont de la même nature. (En décomposant comme +
Voilà je me demande pour quoi imposer cette condition dans tous les énoncés de cette proposition que je vois.
Merci d'avance et désolé si tout n'est pas hyper compréhensible je ne suis pas très à l'aise avec ce traitement de texte!

Dans les somme ou il y a un petit k illisible, je voulais faire apparaitre f(k).

[gg0]

Bonjour.

Tu en connais beaucoup de fonctions positives, croissantes et intégrables sur [a,+oo[ ?
Pour ma part, je n'en vois qu'une, sans utilité donc.

Pour un contre exemple, considère la fonction : L'intégrale diverge, la série (nulle) converge.

Cordialement.

[jojolartiste]

Il me semble qu'il y a énormément de fonctions positive croissante et intégrable sur ]a ; + [ comme exponantielle, ln, des polynomes... Je ne dis pas que cela a un intérêt car en plus si f est croissante, la somme diverge grossièrement, je me demandais simplement pourquoi cette hypothèse. Merci de ta réponse!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En général, on ne dit pas que x , ln(x) ou exp(x) sont intégrables sur [0,+oo[, puisque l'intégrale diverge ... Et on ne se pose évidemment pas la question pour une série de terme général positif croissant.

Cordialement.

[jojolartiste]

L'exemple que tu as donné est pertinent, mais il s'agit d'une fonction périodique pas strictement croissante, de plus j'ai manqué de rigueur dans l'énoncé puisque l'hypothèse n'est pas intégrable sur ]a [ mais intégrable sur tout intervalle bornée de ]a [, les exemples que j'ai donné vérifient donc bien l'hypothèse.

Cordialement,

[gg0]

Ok,

ça devient plus clair.
Pour une fonction positive, croissante, intégrable sur tout intervalle borné de ]a,+oo[, la question de la convergence de l'intégrale ou de la série ne se pose pas : Soit la fonction (et donc la série) est nulle, soit la fonction prend une valeur non nulle et les deux sont de façon évidente divergentes. Et si la fonction est strictement croissante, on n'a plus que le deuxième cas. Donc en faire un théorème serait superfétatoire.
Voilà pourquoi j'avais affaibli tes hypothèses. Pour ne pas réinventer l'eau chaude.

Cordialement.

[jojolartiste]

Oui oui dans ce cas là, il est trivial que les séries diverge, je me demandais juste s'il existait une raison pour que dans certains cas la série et l'intégrale impropre n'est pas la même nature, je trouvais ça curieux de pas élargir les hypothèses au maximum. Merci de tes réponses!

Cordialement,