Im f restriction de g

[Faramoule]

Bonjour,
Je suis bloqué sur une question et j'aimerais savoir si vous pourriez m'aider.
Voilà je dois montrer que dim f - dim f^2=dim(kerf inter imf) avec f endomorphisme de E. En aide on me dit d'utiliser restriction de f à imf.

J'ai donc utiliser la formule de grassman et éliminé kerf car f est invective, dim inter =dim imf - dim(kerf+imf). En fait il faudrait que je montre que f^2 =f mais je suis coincé .

En attente d'une réponse.
-----

[gg0]

Bonjour.

Pour t'aider, il nous faudrait :
* l'énoncé exact
* ce que tu as fait, rédigé complétement.
On pourrait alors comprendre de quoi tu parles.

En tout cas, à priori, f^2 =f sauf si f est un projecteur, auquel cas la formule à montrer est quasi évidente.

Dans l'attente de te lire ...

Cordialement.

[Faramoule]

Merci de votre réponse,
Et bien l'énoncé c'est montré l'égalité que j'ai explicité plus haut en sachant que f est un endomorphisme et comme aide on nous dit de considérer la restriction de f à imf.

Déjà je ne comprends pas bien comment utiliser cette restriction.
Ce que j'ai fait j'ai utilisé la formule de grassman car on est en dim finie: dim(kerf inter imf)= dim kerf + dim imf - dim ( kerf + imf) , or f endomorphisme donc en particulier invective d'où kerf ={0}.
Donc j'essayais de montrer que dim(kerf +imf) = im f^2 pour retrouver l'égalité chercher.
Et j'ai remarqué qu'il faut en fait montrer que f=f^2 pour que ce soit vérifier. Mais je ne sais pas comment faire.

Vous avez parlé de projecteur mais nous n'avons pas vu ce terme en cours donc je ne pense pas pouvoir l'utiliser

Merci

[Universus]

Bonjour,

Un endomorphisme n'a pas à être injectif : il ne s'agit que d'une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même (d'où le préfixe endo), bref . Par exemple, l'application associant à tout vecteur de E l'élément nul est un endomorphisme, mais n'a rien d'injectif. D'ailleurs, il aurait été étrange d'énoncer la formule recherchée en usant d'un concept (à savoir ) qui, par sa soi-disante nullité, n'aurait au fond aucun rôle...

La formule de Grassmann tient pour toute fonction linéaire (entre espaces vectoriels de dimension finie), donc en particulier pour les endomorphismes (c'est-à-dire quand E = F). Or, dans un tel cas particulier, la formule se particularise aussi. Voici comment :

Exercice : Montrez que pour tout endomorphisme , nous avons l'identité , de sorte que la dimension du membre de gauche n'est que que la dimension de E. Indice : procédez par induction sur la dimension du noyau, tâchant de voir comment cela influe sur la dimension de l'image. Alternativement, étudiez la relation entre l'image de f et un supplémentaire du noyau.

L'indice qui vous a été donné vous suggère d'étudier la restriction de f à son image. Quel est le noyau de l'application ? Quelle est l'image de ? Implicitement, par ces questions, nous demandons comment relier ces objets aux noyaux et aux images des applications et .

(Remarque : notez aussi qu'en fait, l'application restreinte est aussi , donc il s'agit d'un endomorphisme de l'espace vectoriel fini . )

Vous pouvez appliquer la formule de Grassmann et l'exercice ci-dessus aux deux endomorphismes et . Pour lier ces deux formules et obtenir votre réponse, vous devrez avoir répondu aux deux questions posées au paragraphe précédent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Attention,

la formule n'est pas , mais .
D'autre part, dim(f) ne veut pas dire grand chose. S'agit-il du rang de f, c'est à dire dim(Im(f)) ?

Cordialement.

NB : "invective" signifie "insulte".

[Universus]

la formule n'est pas , mais .

En effet, je pensais trop à la relation entre l'image et un supplémentaire du noyau... du coup, l'exercice que j'ai donné est absolument faux. Merci pour la correction !

Ce faisant, il faut modifier aussi la démarche que je proposais, puisque la formule de Grassmann ne peut pas être utilisée tout à fait comme je le suggérais.

[Universus]

Considérant les remarques faites par gg0, je corrige mon message :

Exercice 1 : Montrez que pour tout endomorphisme (quel que soit l'espace vectoriel fini E), nous avons l'identité . C'est la formule de l'indice (pour les endomorphismes). Suggestion : procédez par induction sur la dimension du noyau, tâchant de voir comment cela influe sur la dimension de l'image. Alternativement, étudiez la relation entre l'image de f et un supplémentaire du noyau.

Exercice 2 : Montrez que l'application est en fait une application et donc un endomorphisme de l'espace vectoriel fini .


L'indice qui vous a été donné vous suggère d'étudier la restriction de f à son image. Plus précisément, répondez aux deux questions suivantes :

Question 1 : Quel est le noyau de l'application ?
Question 2 : Quelle est l'image de ?

Implicitement, par ces questions, nous demandons d'exprimer le noyau et l'image de en termes des noyaux et des images des applications et .

Appliquez la formule de l'indice à l'endomorphisme et utilisez vos réponses aux deux questions posées précédemment afin d'obtenir la réponse recherchée.

Remarque : cela donne la réponse attendue pour autant qu'on interprète et comme étant respectivement et .

[Faramoule]

Merci pour ton aide et ton temps, donc si j'ai bien compris en utilisant le théorème du rang ou de l'indice comme tu le dis je dois montrer que la restriction de f à imf ( noté res) est un endomorphisme. Vu que f est un endomorphisme imf l'est aussi ? Donc il faut que je montre que E=imf pour que la res soit un endomorphisme de imf ?

Ensuite j'applique le théorème du rang sur la restriction en ayant préalablement calculer le ker et im de la res pour pouvoir les remplacer dans la formule ?
Mais je ne vois pas comment calculer le noyau et l'image de cette restriction, pour le ker j'ai soit x appartenant à ker res d'où res (x)=0 ceci veut il dire que j'ai imf(x)=0 ?
Excuse moi mon manque d'expérience sur ce thème mais c'est une partie que je trouve dure car très théorique
Je te remercie donc encore de ton aide

Cordialement et en attente d'une réponse

[Universus]

Merci pour ton aide et ton temps, donc si j'ai bien compris en utilisant le théorème du rang ou de l'indice comme tu le dis je dois montrer que la restriction de f à imf ( noté res) est un endomorphisme. Vu que f est un endomorphisme imf l'est aussi ? Donc il faut que je montre que E=imf pour que la res soit un endomorphisme de imf ?

Non, vous n'avez pas à montrer cela, puisque c'est faux : par exemple, si est la fonction nulle, nous n'avons pas l'identité de et de E.

Dans la définition d'une fonction, les ensembles de départ et d'arrivée sont importants et font partie intégrante de la fonction. Par exemple, la fonction n'est pas la même fonction que , puisque les ensembles d'arrivée diffèrent, quand bien même les deux « expressions » semblent identiques.

Un endomorphisme est une fonction linéaire ayant un ensemble de départ identique à son ensemble d'arrivée. De prime abord, la fonction restreinte est construite à partir de la fonction f en oubliant, dans l'ensemble de départ E, tout ce qui n'est pas dans ¹. Cette procédure ne modifie pas l'ensemble d'arrivée, de sorte que nous n'avons a priori que . En général, par exemple si f est la fonction nulle, nous n'avons pas l'identité de et de E, de sorte qu'il ne s'agit pas d'un endomorphisme.

L'exercice 2 dit que la fonction est en fait telle que son image, , est comprise dans la « copie » du « E d'arrivée ». Ce faisant, nous pouvons définir une nouvelle fonction, notons-la toujours res par abus de notation, ayant le même ensemble de départ que l'ensemble d'arrivée, à savoir ; bref, on obtient un endomorphisme .

L'intérêt de travailler avec des endomorphismes est que la formule de l'indice prend une expression assez simple, indiquée dans mon précédent message. Une expression plus générale existe et pourrait être utilisée pour , mais bon...

¹ Il faut bien comprendre que n'est qu'un sous-espace vectoriel de E, sans voir E comme étant un ensemble de départ ou un ensemble d'arrivée de quoi que ce soit. Certes, par définition, l'image est initialement interprétée comme sous-espace vectoriel de E vu comme ensemble d'arrivée de la fonction ; or, une fois l'ensemble connu, il n'est plus obligatoire d'y penser comme étant compris dans un « E d'arrivée ». On peut très bien le voir comme compris dans un « E de départ » de la fonction, pour les besoins actuels, , dans quel cas il fait du sens de restreindre le domaine de f à afin d'obtenir .

Ensuite j'applique le théorème du rang sur la restriction en ayant préalablement calculer le ker et im de la res pour pouvoir les remplacer dans la formule ?

Exactement.

Mais je ne vois pas comment calculer le noyau et l'image de cette restriction, pour le ker j'ai soit x appartenant à ker res d'où res (x)=0 ceci veut il dire que j'ai imf(x)=0 ?

Il est maladroit d'écrire , f(x) suffit, mais bon... Oui, c'est ce que cela veut dire : vous venez de montrer que implique . En particulier, en réunissant ces deux appartenances, vous venez de montrer que implique , c'est-à-dire .

Vous avez résolu la moitié de la question 1, en ce sens que vous avez une connaissance partielle de ce qu'est en termes du noyau et de l'image de f. Vous auriez une connaissance totale si vous pouviez montrer, par exemple, que , ce qui ne demande (considérant l'inclusion obtenue à la fin du précédent paragraphe) de montrer que .

Résoudre la question 2 nécessite (en toute rigueur) des arguments du même ordre, mais ça m'apparaît plus simple encore que la question 1.

[Faramoule]

Très bien alors pour la fin de la question 1 je suppose x appartenant à intersection de kerf et imf et je montre facilement que x appartient à ker res.
Ensuite pour la deuxième question j'ai y appartenant à im res d'où y =res(x) =f(x) et donc y appartenant im res implique y appartenant à imf^2. Je montre de même l'inclusion inverse et j'ai donc im res =imf^2 et ker res=kerf inter imf
Ainsi en utilisant le théorème du rang et en substituant ce que je sais de ker res et im res je retombe sur l'égalité que je cherche. Je ne pense pas mettre tromper donc je te remercie infiniment du temtemps que tu m'a consacré et de ton aide
Cordialement

[Faramoule]

J'aurais une autre question la question qui suit me demande de montrer que dim kerf^2 -dim kerf=dim imf -dim imf^2.
Dois-je refaire une restriction sur f ?

[Universus]

Ce n'est pas nécessaire. Pensez plutôt à la formule de l'indice.