Limite de suite par somme de Riemann

[Aurelien8D]

Bonjour,

Lors du calcul de la limite d'une suite, je suis confronté au problème suivant :



J'essaye de faire apparaître une somme de Riemann dans la suite Vn, j'en arrive à devoir calculer l'intégrale (1).

Or, dans le corrigé que j'ai, une autre méthode m'entraîne vers le calcul de (2).

Le résultat est différent et je ne vois pas l'erreur qu'il pourrait y avoir parmi l'un des deux calculs.

Pourriez-vous m'aider ?
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[Universus]

Bonjour,

L'erreur se trouve, pour ainsi dire, dans l'utilisation de plutôt que de . En fait, les opérations entre sommes sont correctes dans les deux cas, mais alors que la seconde somme se prête à une interprétation « comme intégrale » dans la limite , la première somme ne s'y prête pas. Pensez-y : quel que soit fixe, , de sorte que la somme de la première ligne ne correspond aucunement à l'intégrale écrite à la ligne suivante, c'est-à-dire que l'identité (1) est erronée. À l'inverse, la seconde méthode rend les infinitésimaux dans la limite , ce qui donne bel et bien lieu à l'intégrale (2).