Etude d'une fonction

[homersimpsons]

Bonjour a tous

je sohaite faire un exercice pour préparation de partiel en école d'ingénieur. (j'ai du mal a démarrer l'exercice, surtout que je suis en reprise d'étude après 10 ans de vie active)

Voici l'exercice
On considère la fonction F d ́efinie par
􏰀
F(x)=intégrale (e^t/t).dt entre (1 et x)

1) a) Ou` F est-elle d ́efinie ? (Justifier avec précision).
b) Montrer que F est dérivable sur R∗+ et déterminer F′.
2) D ́eterminer le sens de variation de F puis le signe de F sur R∗+.
3) On considére la fonction g définie par g(x)=F(x)−lnx a) Etudier les variations de g, en déduire son signe sur R∗+. b) En d ́eduire les limites en 0 et en +∞ de F (x)
4) a) Etudier la fonction φ d ́efinie par φ(t) = et/2 − t .
b) Montrer alors que et > tet/2 pour tout t > 0.
c) En d ́eduire le comportement de F en +∞ (i.e., lim F (x)/x).

Merci de me guider
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[gg0]

Bonjour.

Conformément aux règles du forum (lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html), c'est à toi de faire ce que tu sais faire (la première question est assez évidente, la deuxième est une question d'application directe du cours, etc.) et on t'aidera là où tu bloques.
Cependant, pour t'aider à démarrer, je te rappelle qu'une fonction définie et continue sur un intervalle y est intégrable; ne pas oublier que x peut être inférieur à 1.

Cordialement.

[homersimpsons]

bonjour gg0

Je suis d'accord, le forum est une aide, il n'est pas pour faire les exos à notre place.

1/ merci pour ton retour, mais je comprends pas une chose quand tu dit que "x peut être inférieur à 1". j'ai toujours appris que la valeur de l'intervalle du bas > Intervalle du haut dans une inégrale. donc dans mon exo 1>X .

cordialement

[gg0]

Alors tu as appris de travers.

Revois des cours de base : Dès la terminale, il n'y a pas d'ordre imposé sur les bornes. Et c'est bien pratique !

[A voir en vidéo sur Futura]

[homersimpsons]

OK merci gg0

[homersimpsons]

avec de le persévérance on y arrive.

1/ a ) Je trouve que la fonction est définie sur R*+.

2/ F'(X) = e^x/X

avec F>0.

3/

g'(x) = (e^x-1)/x

la limit F(x) en + l'infini = + l'infini (par comparaison)

car j'ai F(x)>ln(x)
et la limit de ln(x) en + l'infini = + l'infini

je demande votre aide pour calculer la limit en 0 ???

[Neluge]

Vous avez montré que F est strictement croissante : par un théorème de cours, F admet une limite en 0, soit finie soit infinie... et dans la question 1, il vous a forcément fallu justifier que n'est pas intégrable au voisinage de 0 (pour justifier que F ne peut pas être définie sur un ensemble plus grand que R+*)...

Une autre façon de faire est de procéder par comparaison (écrire F(x) <= qqch qui tend vers ... pour cela, on majore pour ).

[Neluge]

NB. Je ne sais pas à quel niveau se situe le problème, mais si vous n'avez pas vu l'intégration sur un intervalle quelconque, retenez la seconde méthode !