Variété symplectique

invite52487760 · 10/04/2015, 00h57

Bonjour à tous,

Je suis débutant en théorie symplectique, et j'ai quelques questions autour de ce domaine là, les voiçi :

$\text{[math]}$ Si on prend la variété triviale : $\text{[math]}$ munis de ces coordonnées locales : $\text{[math]}$ . Pourquoi la $\text{[math]}$ - forme : $\text{[math]}$ est une forme symplectique ?.

$\text{[math]}$ Si on prend la variété triviale : $\text{[math]}$ munis de ces coordonnées locales : $\text{[math]}$ . Pourquoi la $\text{[math]}$ - forme : $\text{[math]}$ est une forme symplectique ?.

Merci infiniment pour votre aide.

**Universus** · 10/04/2015, 01h10

Envoyé par chentouf

Bonjour à tous,

Je suis débutant en théorie symplectique, et j'ai quelques questions autour de ce domaine là, les voiçi :

$\text{[math]}$ Si on prend la variété triviale : $\text{[math]}$ munis de ces coordonnées locales : $\text{[math]}$ . Pourquoi la $\text{[math]}$ - forme : $\text{[math]}$ est une forme symplectique ?.

Qu'est-ce que l'indice $\text{[math]}$ ? Telle qu'écrite, cette expression n'a aucun sens. En fait, vous voulez fort probablement écrire $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ .

Il suffit de répondre à ces deux questions :

1) La forme est-elle fermée, c'est-à-dire annulée sous l'application de la dérivée extérieure ?
2) Pour chacun des vecteurs de coordonnées $\text{[math]}$ , pouvez-vous trouver un autre vecteur tel que la 2-forme se s'annule pas sur la paire ?

$\text{[math]}$ Si on prend la variété triviale : $\text{[math]}$ munis de ces coordonnées locales : $\text{[math]}$ . Pourquoi la $\text{[math]}$ - forme : $\text{[math]}$ est une forme symplectique ?.

Ici encore, on devrait sans doute lire $\text{[math]}$ plutôt que $\text{[math]}$ .

Utilisez l'identité $\text{[math]}$ et sa version conjuguée complexe afin de vous ramener à des coordonnées réelles.

invite52487760 · 10/04/2015, 01h35

Merci. Oui, c'est vrai.
Pour la question $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , non ? Parce que la dérivée de la fonction constante $\text{[math]}$ est nulle, non ?
D'autre part : je choisis un vecteur $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ , je pense que c'est $\text{[math]}$ , non ? car $\text{[math]}$ .
Il faut aussi que je choisis $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ , je pense que c'est $\text{[math]}$ , non ? car : $\text{[math]}$ .
Est ce que c'est correcte ?

invite52487760 · 10/04/2015, 01h43

Est ce qu'on peut représenter la matrice associée à la forme $\text{[math]}$ ? Quelle est la démarche à suivre ? Quelle est cette matrice ?
Merci d'avance.

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**Universus** · 10/04/2015, 02h00

Le message #3 est correct, quoi que j'échangerais -1 et 1 dans vos calculs (mais ça peut tenir qu'à une histoire de convention).

Oui, il y a évidemment des représentations matricielles. Il suffit de voir le vecteur du premier argument comme un vecteur ligne et le vecteur du second argument comme un vecteur colonne, la forme symplectique étant une matrice (2n)x(2n) entre les deux (comme pour le produit scalaire d'ailleurs). Au signe près déterminée par cette histoire de convention ci-dessus et en utilisant la base que vous avez écrite au premier message (les $\text{[math]}$ en premier, puis les $\text{[math]}$ ), la matrice est donnée par blocs n x n comme étant $\text{[math]}$ .

invite52487760 · 10/04/2015, 16h35

Merci beaucoup pour ces précisions.
J'ai un autre question si vous me permettez :
Soit $\text{[math]}$ un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ .
Comment montrer que si $\text{[math]}$ est une forme symplectique sur $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ ne s'annule pas ?
Merci d'avance.

**Universus** · 10/04/2015, 21h05

Ce n'est que de l'algèbre linéaire, en ce sens qu'il suffit de montrer cela en chaque point de la variété.

Donc, vous avez une 2-forme linéaire non dégénérée sur un espace vectoriel (réel) de dimension 2n ; on peut voir ça comme une matrice 2n x 2n. Il faut prendre le produit extérieur de la 2-forme n fois ; il est bien connu que cela n'est, pour l'essentiel, que le déterminant de la matrice.

invite52487760 · 10/04/2015, 22h25

Merci.
En fait, j'ai du mal à me représenter cette matrice dont tu parles :
Si on se place dans $\text{[math]}$ , alors par définition : $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$ sont des $\text{[math]}$ - formes. C'est ce que j'ai appris quant j'étais encore jeune. Mais ici, c'est différent, on est sur un espace vectoriel réel de dimension $\text{[math]}$ , et il s'agit de $\text{[math]}$ - formes, et non de $\text{[math]}$ - formes. Donc, à mon avis, $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - forme $\text{[math]}$ . Quelle est la matrice qui lui correspond ?.
Merci d'avance.

invite52487760 · 10/04/2015, 22h39

Ah d'accord, je crois avoir compris.
$\text{[math]}$ , donc : $\text{[math]}$ , non ?
Et donc , $\text{[math]}$ , non ?

**Universus** · 11/04/2015, 00h24

Grosso modo, votre dernier message est l'argument. Or, vous ne l'appliquez qu'à la forme symplectique standard donnée dans votre premier message ; votre plus récente question semble formulée de manière générale.

Il y a deux procédures à suivre :

- Utiliser une sorte de procédé de Gram-Schmidt afin de ramener n'importe quelle 2-forme linéaire non dégénérée à la forme standard et appliquer votre dernier argument.
- Calculer directement le produit extérieur.

Évidemment, selon les arguments précis utilisés, ces diverses méthodes sont toutes des reformulations les unes des autres.

Vous avez raison dans votre avant dernier message : de prime abord, c'est le produit maximal de 1-formes distinctes qui est lié au déterminant. Or, un calcul assez simple montre que $\text{[math]}$ , qui est bien un produit maximal de 1-formes distinctes.

invite52487760 · 12/04/2015, 16h30

Merci @Universus pour toutes ces précisions.
Dans un question précedente, on nous demande de montrer que :
Si $\text{[math]}$ est un espace vectoriel, alors $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ est de la forme : $\text{[math]}$ où : $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$ duale à la base standard ( $\text{[math]}$ ).
Est ce que vous pouvez me dire comment on répond à cette question ?
Merci d'avance.

**Universus** · 12/04/2015, 18h42

C'est une petite généralisation de la première procédure mentionnée dans mon précédent message. Ça peut se démontrer en quelques étapes.

1) Considérer le « sous-ensemble caractéristique de $\text{[math]}$ », à savoir $\text{[math]}$ . C'est un sous-espace vectoriel de V.
2) Montrer que la forme $\text{[math]}$ détermine une structure symplectique $\text{[math]}$ sur le quotient $\text{[math]}$ . Il s'agit du principe de réduction symplectique.
3) Utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur $\text{[math]}$ afin de trouver une base $\text{[math]}$ -standard sur $\text{[math]}$ .
4) Prendre n'importe quel supplémentaire $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Montrer que la projection canonique $\text{[math]}$ induit un isomorphisme symplectique entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Cela donne une base $\text{[math]}$ -standard pour W ; lui ajouter n'importe quelle base de $\text{[math]}$ donne une base $\text{[math]}$ -standard de V. En considérant la base duale, on obtient aisément l'expression recherchée pour $\text{[math]}$ .

Le procédé de Gram-Schmidt pourrait être utilisé directement sur $\text{[math]}$ , mais cela nécessiterait un suivi plus minutieux des éléments obtenus à chaque étape du procédé afin d'identifier les éléments du sous-espace caractéristique ; en comparaison, la démarche ci-dessus les identifie dès le début et ne les considère plus vraiment par la suite.

invite52487760 · 12/04/2015, 20h15

Merci. Je ne suis pas trop familier avec tout ça.

Pour la question $\text{[math]}$ , si on prend $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est une forme symplectique sur $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$ , non ?
Comment montrer que c'est une forme symplectique sur $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

**Universus** · 12/04/2015, 21h23

Oui, c'est la définition de $\text{[math]}$ . Encore faut-il montrer que cet objet est bien défini comme 2-forme sur $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que chaque réel $\text{[math]}$ ne dépend pas des représentants précis de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ . Ceci montré, il n'est pas bien difficile que $\text{[math]}$ est non dégénérée (mais ça, je ne le ferai pas pour vous

).

Bon travail !

invite52487760 · 12/04/2015, 21h31

Pour la question $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ , non ? alors, il faut construire une base $\text{[math]}$ - standard sur $\text{[math]}$ comme suit : Soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ , non ? On pose : $\text{[math]}$ , et on écrit : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ ... et ainsi de suite, jusqu'à avoir : $\text{[math]}$ , non ? avec biensûr : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non ?

**Universus** · 12/04/2015, 21h53

Écrire que $\text{[math]}$ est maladroit, puisque $\text{[math]}$ n'est pas défini comme un sous-ensemble de V. Par contre, puisque nous travaillons avec des espaces vectoriels, tout supplémentaire à $\text{[math]}$ dans V (bref, pour tout $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ), nous avons $\text{[math]}$ .

Il vous manque quelque chose dans la définition de $\text{[math]}$ (qui est l'orthogonal symplectique de $\text{[math]}$ ), mais c'est exactement l'idée.

invite52487760 · 12/04/2015, 22h01

Merci, donc jusque là, on a une $\text{[math]}$ - base de $\text{[math]}$ définie par la famille $\text{[math]}$ qu'on complète par une famille $\text{[math]}$ qui est une base de $\text{[math]}$ , pour obtenir une base de $\text{[math]}$ , d'accord, mais je ne sais pas comment finir le raisonnement. Pouvez vous m'aider svp ?

**Universus** · 12/04/2015, 22h19

C'est très général. Si $\text{[math]}$ est une base de V et si $\text{[math]}$ est la base duale, alors $\text{[math]}$ .

invite52487760 · 12/04/2015, 22h25

Il me semble qu'il faut choisir $\text{[math]}$ , et développer :
$\text{[math]}$ . Comment pouvoir regrouper ces termes là pour arriver au résultat escompté ?
Merci d'avance.

Edit : Grillé.
Edit : D'accord, merci..

invite52487760 · 12/04/2015, 22h35

Envoyé par Universus

Grosso modo, votre dernier message est l'argument. Or, vous ne l'appliquez qu'à la forme symplectique standard donnée dans votre premier message ; votre plus récente question semble formulée de manière générale.

Il y a deux procédures à suivre :

- Utiliser une sorte de procédé de Gram-Schmidt afin de ramener n'importe quelle 2-forme linéaire non dégénérée à la forme standard et appliquer votre dernier argument.
- Calculer directement le produit extérieur.

Évidemment, selon les arguments précis utilisés, ces diverses méthodes sont toutes des reformulations les unes des autres.

Vous avez raison dans votre avant dernier message : de prime abord, c'est le produit maximal de 1-formes distinctes qui est lié au déterminant. Or, un calcul assez simple montre que $\text{[math]}$ , qui est bien un produit maximal de 1-formes distinctes.

$\text{[math]}$ parce que : $\text{[math]}$ et
$\text{[math]}$ parce que
$\text{[math]}$ est non dégénérée par définition d'une forme symplectique ? non ?
Merci d'avance.

**Universus** · 13/04/2015, 01h29

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$ parce que
$\text{[math]}$ est non dégénérée par définition d'une forme symplectique ? non ?
Merci d'avance.

Si on oublie la partie sous-lignée, ce qui reste est vrai, mais c'est tautologique pour une forme de degré maximal.

La partie soulignée n'est pas la justification ; la forme $\text{[math]}$ n'est qu'une forme de degré maximal que nous pouvons écrire (comme ici) sans mention explicite à la forme symplectique. C'est, à un signe près, la forme volume usuelle sur les espaces euclidiens. On peut calculer directement cette forme sur les éléments d'une base et voir qu'elle ne s'annule pas (pensez au déterminant).

invite52487760 · 13/04/2015, 18h27

Merci pour toutes ces réponses @Universus.

Cordialement.

Variété symplectique

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