Quand une matrice n'est pas diagonalisable ?

[Dr_Dre]

Bonjour à tous,

Oui, je suis en pleine révisions d'où toutes ces questions. Moins grosse que la précédente, une simple vérification. Imaginons qu'on est une matrice :

A =

0 1
-1 -2

On trouve bien évidemment une valeur propre double étant donné qu'on a le déterminant qui est égal à (-1 -Lambda)^2 ainsi lambda = -1.

2 questions quand on trouve seulement 1 valeur propre qui est double :

1/ Ainsi le vecteur propre qu'on trouve compte seulement comme une fois ? Ou 2 fois ? Dans cet exemple j'ai un vecteur propre (1 ; -1). Du coup, peut-on dire comme la valeur propre est double que la matrice de passage qu'on notera P s'écrit :

1 1
-1 -1

Ou pas ? Si non pourquoi.

2/ J'imagine que non vu ma seconde question : Mon cours me dit que comme je trouve seulement un vecteur propre ma matrice n'est pas diagonalisable car la dimension de ce vecteur ne colle pas avec la dimension de A (1 différent de 2). Et qu'il fallait que je jordanise ma matrice A pour trouver mes vecteurs propres. Je voulais juste savoir pourquoi ? A partir du moment où je trouve un seul vecteur propre et que ma matrice A est une 2*2 c'est impossible de la diagonaliser ?

Merci à vous ! Bonne journée.
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[joel_5632]

Quand on trouve une valeur propre double (ou d'ordre r) on regarde si le sous espace propre correspondant est de dimension 2 (ou r). Si la réponse est non, alors la matrice n'est pas diagonalisable.

Dans ton cas il est évident que c'est non, car si on pouvait trouver 2 vecteurs propres et libres associés à la vp -1, alors l'application linéaire serait -Id car on est en dimension 2. Or ce n'est pas le cas. (j'espère être clair avec cette phrase)

Pour répondre précisément à la question 1, tu ne peux pas prendre 2 fois le même vecteur pour la matrice de passage car il te faut une base. Les vecteurs colonnes de la matrice de passage représente la nouvelle base. Mais on peut y caser 2 vecteurs libres associés à la même valeur propre

[Dr_Dre]

Salut ! Merci de la réponse.

On est d'accord quand tu parles de sous-espace propre, c'est un vecteur propre dont tu parles ? Dans mon cas (1 ; -1). J'ai pas très bien compris. Mais est-ce que je peux le résumer ainsi, si je trouve seulement un vecteur propre pour une matrice 2*2, elle n'est pas diagonalisable. Comme c'est une matrice 2*2 je dois trouver forcément 2 vecteurs propres ? C'est bien ça ?

[gg0]

S'il y a un vecteur propre, il y en a une infinité : Si v est une vecteur propre (donc non nul) tous les k.v sont aussi des vecteurs propres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dr_Dre]

Ok. Merci. Du coup, je n'ai pas compris pourquoi cela ne marchait pas. J'ai une valeur propre double. Donc forcément un vecteur propre (1;-1) pourtant la matrice n'est pas diagonalisable.

[joel_5632]

Soit une valeur propre.
Soit l'ensemble des vecteurs v tels que (f est l'application linéaire associée à la matrice)
est le sous espace vectoriel propre associé à
C'est dans ce sous espace vectoriel propre que tu vas prendre les vecteurs propres

Dans ton cas, il te faudrait en trouver 2, libres, si tu voulais diagonaliser la matrice. Or c'est impossible car la dimension de ce sous espace est égale à 1. La matrice n'est donc pas diagonalisable

> si je trouve seulement un vecteur propre pour une matrice 2*2, elle n'est pas diagonalisable.
> Comme c'est une matrice 2*2 je dois trouver forcément 2 vecteurs propres ?

Oui il faut autant de vecteurs propres libres que la taille de la matrice

[joel_5632]

>Du coup, je n'ai pas compris pourquoi cela ne marchait pas. J'ai une valeur propre double.
>Donc forcément un vecteur propre (1;-1) pourtant la matrice n'est pas diagonalisable.

Il t'en faudrait 2, libres, pour diagonaliser

[gg0]

Manifestement,

il te manque des connaissances de cours. L'existence de vecteurs propres ne dit pas que la matrice est diagonalisable. Les vecteurs propres sont d'ailleurs les (x,-x) pour x non nul. Il me semble que tu as un travail à faire sur ton cours avant d'essayer de faire des exercices

Cordialement.

[Dr_Dre]

Merci de l'explication ! J'ai compris. De ce fait, quand on a juste une valeur propre double comme ici, il est impossible de "doubler" le vecteur propre trouvé ?

[joel_5632]

non
.

[Dr_Dre]

Super ! Merci des explications !

[gg0]

Ben,

si la matrice 2x2 est diagonalisable, tu vas trouver 2 vecteurs propres non colinéaires (voir cours)

[Dr_Dre]

Yep, je suis d'accord. Merci.