Enveloppe

[mc222]

Bonjour,

J'ai remarqué que les enveloppes des distribution statistiques les plus répandues en Physique classique sont toutes des hyperboles.
Ainsi ces trois familles de fonctions g l et m:

(Gaussienne)

(Lorentzienne)

(Maxwellienne)

Ont pour enveloppes respectives :

, et

Est-ce une conséquence des propriétés de ces fonctions ? : Intégrale égale à 1...

Merci d'avoir lu !
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[Universus]

Bonjour,

C'est une jolie constatation !

Ce n'est pas lié au fait que les intégrales de ces fonctions sont normalisées à 1, mais davantage au fait que la normalisation est constante au sein de chaque famille. Et encore, la normalisation n'est liée à la vraie raison que de manière indirecte, mais suggère cette vraie raison...

Nous pouvons remarquer que les trois familles sont toutes de la forme . Si nous nous attardons aux graphes de ces fonctions, nous pouvons voir que le graphe de est lié à celui de via l'application . Plus précisément, en notant et , alors . Remarque : puisque doté de la multiplication est un groupe, l'application ci-dessus est une action de groupe.

Les orbites de l'action sont (pour l'essentiel) les hyperboles que vous avez identifiées, à savoir celles de la forme avec c une constante. Donc, il suffit de trouver une hyperbole tangente au graphe de , car il s'en suit automatiquement que cette hyperbole est tangente à tous les autres graphes.

Notez que si est intégrable, d'intégrale , alors aussi ; c'est la normalisation de la famille. En fait, l'action ci-dessus est symplectique (linéaire) (et en fait hamiltonienne), de sorte qu'elle préserve la superficie des sous-ensembles (mesurables) du plan. Puisque l'action préserve l'axe des abscisses et puisqu'elle envoie des courbes qui sont des graphes de fonctions sur des courbes qui sont aussi des graphes de fonctions, il est automatique que l'intégrale desdites fonctions est préservée sous l'action. Ceci montre que la normalisation des familles n'est pas la raison profonde derrière votre constatation ; la raison tient plutôt dans la relation .

Cordialement

[mc222]

Bonsoir,

Je dois avouer que mes connaissances en mathématiques arrivent à leur limites !
Je ne connais pas trop le formalisme sur les actions de groupe...

Mais d'après ce que j'ai compris la forme commune des enveloppes est dues à cette relation :



que toutes nos fonctions satisfont.

D'ailleurs, on peut remarquer que cela implique :



Et donc :



Si l'on intègre sur R ou sur sur R+ par exemple.

La relation que vous avez trouvé implique donc que l'intégrale est constante sur la famille de fonction !

Cordialement

[minushabens]

Les probabilistes disent que lambda est un paramètre d'échelle (ou de taille).

[A voir en vidéo sur Futura]