Groupes et algèbres de Lie

[Le petit belge]

Bonjour,

J'ai un exercice qui me pose problème:
Soit A(x) dans SU(2) (x désigne des coordonnées d'espace-temps). Il faut montrer que l'objet est dans l'algèbre de Lie de SU(2), pour tout x.

J'ai essayé d'exprimer d'utiliser la définition de la dérivée, mais je n'arrive pas à conclure. Merci d'avance pour votre aide!
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[Universus]

Bonjour,

Je ne sais pas si vous êtes familier avec la géométrie différentielle classique, c'est-à-dire l'étude des surfaces dans . Si oui, c'est génial, puisque une excellente façon de raisonner ici est d'utiliser une petite généralisation de cette discipline.

Je m'explique. Notons par l'ensemble des matrices carrées 2x2 à coefficients complexes et notons par le sous-ensemble des matrices inversibles, c'est-à-dire de déterminant non nul. L'ensemble , étant un espace vectoriel isomorphe à , remplace le de la géométrie différentielle classique ; l'ensemble est un sous-ensemble ouvert dense (et en fait, une variété lisse) de cet espace vectoriel, mais bon ceci ne nous importe pas trop.

L'ensemble est le sous-ensemble de défini par ; chacune des deux propriétés définissantes implique en particulier . Le groupe est une sous-variété de et a ici le rôle d'une surface en géométrie différentielle classique. L'algèbre de Lie est le plan tangent à au point « matrice identité ».

Afin d'obtenir une description explicite de cette algèbre, on considère n'importe quelle courbe (avec ) ; on dérive une telle courbe en la voyant comme appartenant à l'espace vectoriel , de sorte que le vecteur vitesse est automatiquement interprété comme une matrice 2x2 à coefficients complexes. Cette matrice possède des propriétés bien précises, puisque la courbe appartient à SU(2) ; ces propriétés s'obtiennent en dérivant les expressions présentes dans la définition du groupe SU(2). Je le répète, il est facile de dériver ici, puisque le chemin est une fonction à valeur (en particulier) dans un espace vectoriel.

a) L'expression se calcule à l'aide de la formule de Leibniz et de l'hypothèse sur la courbe.
b) L'expression est liée à la trace via la formule de Jacobi.

Ainsi, nous obtenons

Cet argument se généralise facilement afin d'expliciter le plan tangent à une matrice fixe en considérant plutôt des courbes vérifiant :

.

Vous connaissiez peut-être les définitions de SU(2) et de su(2) sans passer par ces constructions géométriques. La définition générale des plans tangents vous est probablement moins familière. Une approche calculatoire ne nécessitant que ces définitions est possible, approche ne nécessitant pas l'interprétation géométrique que nous venons de présenter. Par contre, cette interprétation géométrique est très puissante, comme nous le verrons.

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Ceci étant dit, nous pouvons en venir à votre problème précis. Vous avez une fonction ; donc, pour chaque , l'élément vérifie et . Ainsi, qu'importe et , nous avons : la matrice vérifient donc quelques propriétés mentionnées plus haut. Notez aussi que (A étant à valeurs dans ), donc ces propriétés se reformulent en terme de l'expression qui vous intéresse le plus. Il vous reste « simplement » à comparer aux propriétés définissant (c'est un peu plus facile à dire qu'à faire). Notez que cette approche calculatoire ne nécessite foncièrement que la connaissance des définitions de SU(2) et des plans tangents, sans se préoccuper de la façon de se procurer cette connaissance.

De façon bien moins calculatoire et bien plus géométrique (et c'est ce qui se généralise à tous les groupes de Lie), nous pouvons remarquer que si est une courbe satisfaisant , alors la courbe satisfait . Ainsi, la multiplication par la gauche par donne lieu à une bijection de vers . Votre problème se résout ainsi presque automatiquement, mais il faut assurément avoir la vision géométrique du problème présentée ci-dessus.

Pour plus d'informations sur cette approche géométrique, sachez que vous étudiez ici la « forme de Maurer-Cartan » du groupe SU(2).

[Le petit belge]

Réponse très claire et très détaillée, ça fait plaisir!
J'avais juste un problème sur la façon dont il fallait partir. Etant familier avec les concepts que vous avez exposé, j'ai pu sans aucun mal arriver au bout du problème.

Merci!