Par exemple, ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...lg%C3%A9brique , on affirme que toute variété algébrique est la restriction d'un schéma à l'ensemble de ses points fermés. Pouvez vous m'expliquer ce qui différencie cette affirmation par rapport à ce que vous avez dit ?
C'est écrit vers le début du lien.
Merci d'avance.
C'est fait dans le Hartshorne, chapitre 2 : il existe un foncteur pleinement fidèle qui va de la catégorie des variétés (sur) vers la catégorie des schémas.
En fait, si tu pars d'un k-algèbre, engendré de manière finie, tu peux la voire comme une variété ou un schéma, suivant que tu prenne le spectre maximal ou le spectre premier. Tu obtiens une variété ou un schéma. Comme les points fermés sont exactement les idéaux maximaux, on obtient le résultat.
Une variété algébrique n'a que des points fermées. L'image de cette variété par ledit foncteur va avoir des points non fermés (les sous-variétés de dim>0).
Bravo à toi, merci.
Le sujet devient de plus en plus passionnant lorsque on ôte de notre esprit le maximum de confusions qui le souillent.
Quant à Harstone, je vais y jetet un oeil lorsqu'il sera entre mes mains.
Cordialement.
Dernière modification par chentouf ; 22/04/2015 à 15h07.
Peux tu m'indiquer la page dans Hartshorne stp ?
Merci d'avance.
Section II (Schéma), à la fin du chapitre 2 (aussi intitulé schéma). C'est juste avant les exercices.
Oui, c'est vrai, c'est à la page : 78/79. Merci.
Bonsoir,
Encore une nouvelle fois une question que j'aimerai vous poser :
D'après Hartshorne, le foncteur :
Merci d'avance.
Un foncteur pleinement fidèle ça veut dire "en gros" un foncteur "injectif". Donc il n'est certainement pas surjectif, mais tu peux voir la catégorie des variétés comme une sous-catégorie pleine de la catégorie des schémas. En fait, plus loin il donne une caractérisation plus précise de cette sous-catégorie (page 104).
(Mais peut être est il temps d'ouvrir un nouveau fil ?)
Non, ce n'est pas une équivalence de catégories, parce qu'il n'est pas essentiellement surjectif.
Pleinement fidèle signifie que c'est injectif en langage courant, c'est à dire La catégorie des variétés algébriques sur k s'injecte strictement dans la catégorie des schémas sur k, d'où la conclusion qu'il existe des schémas sur k algébriquement clos avec des points non fermés dedans.
http://en.wikipedia.org/wiki/Full_and_faithful_functors
Edit : Grillé.
Dernière modification par chentouf ; 22/04/2015 à 21h24.
"D'ou la conclusion qu'il existe des schémas sur k algébriquement clos avec des points non fermés dedans. " Attention, une variété vue comme un schéma a des points non fermés (exercice : pourquoi ?). En revanche, par exemple si tu as des éléments nilpotents dans ton schéma il ne va pas venir d'une variété. Donc ce foncteur n'est évidemment pas une équivalence de catégories ! (Sinon pourquoi s'embêter avec des schémas ??)
Sinon c'est ça : un foncteur pleinement fidèle est "injectif" dans le sens où
Par exemple, le foncteur d'oubli :)
Je ne sais pas. C'est ce que je cherche à comprendre depuis le début.une variété vue comme un schéma a des points non fermés
Dernière modification par chentouf ; 22/04/2015 à 22h09.
Prenons
C'est la différence entre le spectre d'un anneau et le spectre maximal d'un anneau. Pour une variété vu comme un schéma, tu peux voir ses points non-fermés comme idéal premier et donc comme sous-variété de X. (Ce qui en plus donne une bonne interprétation de
D'accord, merci. Il ne fallait pas que je m'incruste dans ce sujet, mais c'est mon impulsivité qui m'a trahi, car je ne suis pas à la hauteur de ce sujet, franchémént. Bonné continuation à toi pétrifié ét à tous lés intérvénants.
Cordialémént.
