Goutte, gravité et équation différentielle non linéaire

**Omry** · 26/04/2015, 18h59

Bonjour,

Ceci est ma première contribution sur le forum, lorsque je questionne mon moteur de recherche sur les sciences il me renvoi régulièrement ici. L'inscription était donc de mise.

Pour en venir au nerf de la guerre, depuis quelques semaines je m’intéresse à la physique des surfaces. J'ai assimilé les principes de base de ce domaine, mais mes capacités mathématiques me freine dans cette entreprise.

Je tente de mettre en place mathématiquement l'équation de la courbe qui décrit l'interface d'une goutte posée sur un solide plat.

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Aprés un rapide raisonnement l'équation différentielle que satisfait la fonction que je cherche est:

$\text{[math]}$

avec K, e et $\text{[math]}$ des constantes
z et x des longueurs

soit $\text{[math]}$

D’après ce que j'ai compris, il n'y a pas de méthode "type" pour la résolution d'équation différentielle non linéaire.
Avez-vous des pistes pour obtenir z(x)?

Merci de votre aide.

PS: J'ai essayé d'utiliser un développement limité pour simplifier l'équation mais cette simplification restreint beaucoup l'étude. Mais malgré cette simplification l'équation reste difficile pour moi à résoudre, à savoir :

$\text{[math]}$

**gg0** · 26/04/2015, 19h44

Bonjour.

A vue de nez, comme x n'apparaît pas explicitement, tu obtiens, en calculant $\text{[math]}$ (2 résultats) des équations à variables séparables, donc tu pourras intégrer, et éventuellement résoudre : Il te faut espérer que l'intégrale se calcule, puis que la fonction x=f(z) que tu auras trouvée soit facilement inversible. Voir un cours sur les équations différentielles.

Cordialement.

**Omry** · 27/04/2015, 14h37

J'ai un peu de mal avec le vocabulaire, par équation à variables séparables tu entends une équation de cette forme?
Que l'on obtient en isolant $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Si c'est bien de quoi il s'agit, merci de la piste

.
Maintenant pour intégrer cette équation, j'ai beau batailler mais toujours pas d'illumination.

$\text{[math]}$

A part peut-être mais sans grande conviction, qu'en pensez vous?

$\text{[math]}$

qui donne

$\text{[math]}$

désolé pour la lourdeur de l'écriture

Cette expression est surement plus facilement intégrable, non?

Merci du coup de main.

PS: Tu parle de deux résultats mais je ne comprends pas pourquoi deux?

**gg0** · 27/04/2015, 14h50

si x²=a>0, il y a deux valeurs de x.

Toi, tu n'as pris que la valeur positive.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tryss** · 27/04/2015, 18h12

Concernant le problème de l'interface goutte/solide, s'agit en fait d'un problème moins simple qu'il n'y parait, l'angle de contact $\text{[math]}$ n'étant pas une constante. On pourra rechercher avec succès des choses sur le sujet en cherchant "free boundary problem droplet".

J'avais commencé à regarder ce cours sur le sujet, mais je m'étais arrêté en route :
https://vimeo.com/117260452

**Omry** · 27/04/2015, 20h36

Envoyé par gg0

si x²=a>0, il y a deux valeurs de x.

Toi, tu n'as pris que la valeur positive.

Cordialement.

Ok, effectivement! merci des précisions
Mais étant donné que z est une longueur, la solution négative implique l'apparition de nombre complexe. Donc cette solution est physiquement pas exploitable.
z²=-a pour la solution en question
z=i $\text{[math]}$

Par contre je viens de m'apercevoir d'une bétise que j'ai écrit plus haut. L’intégrale que je recherche est en réalité:

$\text{[math]}$

avec X un polynome de degré 2
Des idées pour aboutir au résultat?

Envoyé par Tryss

Concernant le problème de l'interface goutte/solide, s'agit en fait d'un problème moins simple qu'il n'y parait, l'angle de contact $\text{[math]}$ n'étant pas une constante. On pourra rechercher avec succès des choses sur le sujet en cherchant "free boundary problem droplet".

J'avais commencé à regarder ce cours sur le sujet, mais je m'étais arrêté en route :
https://vimeo.com/117260452

La vidéo est intéressante, merci.
En effet l'angle de contact est compris sur un intervalle qui va dépendre du matériau sur lequel elle est posée. La résolution que je tente, nécessite d'avoir fait une mesure expérimentale de l'angle. Ou bien de s'en approcher avec la relation de Young sur l'angle de mouillage.

Merci

**gg0** · 27/04/2015, 21h20

Attention, ce n'est pas z dont tu as le carré, mais sa dérivée. Le signe de la dérivée n'a rien à voir avec celui de la fonction, à priori.

Cordialement.

**Omry** · 27/04/2015, 21h44

Arf, oui merci! Faudrait pas que je me vois déjà avec z(x), avant ça il y a un long chemin à parcourir pour moi...

$\text{[math]}$
Aurais-tu une idée pour effectuer cette intégrale?

**gg0** · 27/04/2015, 21h57

Je doute qu'il y ait une méthode pour tous les cas de valeurs de A, B et C.

par contre, en relisant ton message 1, l'équation
$(1+(\frac{dz}{dx})^2 )^{-\frac{1}{2}} + A z^2 + Bz = C$
ne donne pas du tout ça, mais
$\text{[math]}$

Qui éventuellement pourrait se traiter, si on est sur un domaine convenable, en posant Az²+Bz-C=ch(t). Mais mon esclave numérique habituel ne sait pas faire, donc gros doute.

Cordialement.

**Omry** · 28/04/2015, 08h20

Ok, je vois. Mais la puissance sur le premier terme est -1/2 et non 1/2, la différence entre nos deux résultats vient de là je pense.

$\text{[math]}$

Concernant l'intégrale que je te propose,
$\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$

J'essaye de faire le changement de variable $\text{[math]}$

Ce qui donne finalement,

$\text{[math]}$

Mais rien qui m'avance je pense.

J'ai pu voir sur internet cette intégrale sinon, elle pourrait peut-etre aider $\text{[math]}$
Je vais voir ce que ça donne.

Merci de ton aide!

**gg0** · 28/04/2015, 08h28

Ah oui ! Désolé, j'ai zappé le -.

azizovsky · 28/04/2015, 10h49

Salut, essaye la substitution d'Euler : http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_substitution.

azizovsky · 28/04/2015, 12h18

Salut, avant de dire quoi que soit, on remarque que $\text{[math]}$ or
$\text{[math]}$
càd $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans ton cas .

pour $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ l'intégralle est de la forme : (*)

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des constantes .

en différentiant (*) et en réduisant au même dénomirateur, on obtient une identité de deux polynômes, d'où on détermine les constantes.

**Médiat** · 28/04/2015, 12h28

Envoyé par azizovsky

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des constantes .

en différentiant (*) et en réduisant au même dénomirateur, on obtient une identité de deux polynômes, d'où on détermine les constantes.

Bonjour,

$\text{[math]}$ se calcule directement : $\text{[math]}$

azizovsky · 28/04/2015, 12h38

Salut, merci Médiat pour la concision, mais je voulais insister sur le fait qu'il a $\text{[math]}$ et non pas $\text{[math]}$

**Omry** · 28/04/2015, 13h43

Salut azizovsky,

La piste de la substitution d'Euler me semblait prometeuse mais je pense que le dénominateur de l'intégrale que je cherche ne s'y prete pas.

Je me suis alors tourné vers le type d'intégrale que tu me proposes:
$\text{[math]}$

en posant
$\text{[math]}$
soit
$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ le discriminant du polynome

Finalement j'ai,

$\text{[math]}$

Là avec une intégration par parties je n'arrive pas à sortir de résultat. Qu'en penses tu?

Merci de ton aide

**Tryss** · 28/04/2015, 14h31

Un esclave numérique donne une réponse, qui, comme il fallait s'y attendre, n'est pas jolie :

https://www.wolframalpha.com/input/?...28ax%2Bb%29+dx

**Omry** · 28/04/2015, 17h39

Ah oui, il est bien serviable ce calculateur et beaucoup plus performant que moi

.
Hum, est-ce que ce génie sait tracer cette plaisante formule?
Merci

**eudea-panjclinne** · 29/04/2015, 08h46

$\text{[math]}$
Il s'agit, d'une façon générale, d'intégrales elliptiques. Elles ne sont pas réductibles à des fonctions élémentaires. Lagrange a montré qu'elles s'expriment au moyen de trois types fondamentaux nommés par Legendre 1e, 2e et 3e espèce.bibmath.net
Pour les calculer on peut utiliser une calculatrice ou un logiciel qui en donnera une valeur numérique approchée pour des valeurs numériques des constantes.
Si les valeurs des constantes restent indéterminées des logiciels de calcul formels comme Maple ou Mathematica les décomposeront en éléments plus simples (intégrales de 1e, 2e ou 3e espèces), mais en général c'est complexe.

azizovsky · 29/04/2015, 09h04

Bonjour, un cours sur ce type d'intégralle http://www.fichier-pdf.fr/2014/01/03...view/page/598/ (tome 3,2ème partie de V.Smirnov)

azizovsky · 29/04/2015, 09h28

Salut, il y'a moyen comme j'ai dit avant si tu peux le mettre sous la forme: (*)

$\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est un polynôme de degré inférieur d'une unité à celui de $\text{[math]}$ , en différentiant (*) et en réduisant en même dénominateur, on obtient une identité de deux polynômes, d'où la détermination des coefficients de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

il faut taper sur toutes les portes

.

**eudea-panjclinne** · 29/04/2015, 22h43

La forme : $\text{[math]}$
est intéressante car se prêtant facilement à des calculs numériques. Il faut faire attention que le x n'est pas le même qui celui du début.
Pourquoi ne pas donner à A et $\text{[math]}$ une échelle de valeurs numériques qui vous intéressent et puis calculer par approximation cette intégrale pour obtenir ainsi une table de valeurs. Une calculatrice de lycée fait parfaitement l'affaire.

**Omry** · 05/05/2015, 07h37

Bonjour,
merci de vos réponses et désolé de la mienne qui tarde...
La résolution sur feuille de cet intégrale me parait délicate (je n'ai malheureusement pas pu passer plus de temps que ça à m’intéresser aux intégrales elliptiques), je pense donc dans un premier temps effectuer une résolution numérique.

Omry

**eudea-panjclinne** · 05/05/2015, 13h16

Envoyé par Omry

je n'ai malheureusement pas pu passer plus de temps que ça à m’intéresser aux intégrales elliptiques

Dommage, c'est une théorie étonnante que celle des intégrales elliptiques et plus proprement celle des fonctions du même nom, pour reprendre le qualificatif de Jean Dieudonné. elle naquirent aux cours du 18e siècle et connurent leur age d'or au début du 19e avec les travaux de Legendre, Abel, Jacobi, développement qui se fit avec un arsenal d'outils mathématiques assez frustres.

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