Théoreme des valeurs intermédiaires

[SSTN]

Bonsoir,
les deux énoncés du théoreme des valeurs intermédiaire sont équivalent mais je n'arrive as à distinguer cette équivalence!

Les énoncés du théoreme:http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...m%C3%A9diaires
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[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas ce que tu appelles "distinguer". Pour moi, une équivalence se démontre, c'est tout.
Si tu veux en faire une démonstration, fais-le. Si tu bloques, on t'aidera. D'ailleurs, ça n'a rien d'évident, ça utilise des propriétés spécifiques de R.

Cordialement.

[SSTN]

Oui mon ami, tu as raison.
Il y'a un sens evident qui est du premier énoncé vers le deuxieme, mais pour l'autre sens je bloque dès le début.

[gg0]

Heu ... pas si évident, il faut quand même montrer que c est entre a et b. C'est facile, mais dire c'est évident sans rédiger est le piège du matheux qui se trompe !

[A voir en vidéo sur Futura]

[SSTN]

Si je suppose que a<b et que f(a)<f(b), et je penses que travailler sur ce cas va suffir (on refait la meme demonstration avec les autres cas)
Si je prends un z dans ]f(a),f(b)[...Considérons E={x dans [a,b];f(x)<z}, E est non vide (contient a) et majoré par b donc il admet une borne supérieure qu'on note c. On peut extraire une suite convergente vers c de [a,c] (D'apres le théoreme de Bolzano Weirestrass) et comme f est continue son image converge vers f(c)<=z.
De la meme façon, on travail sur la partie supérieure ]z,f(b)[ et on montre que f(c)>=z...d'ou il existe c dans ]a,b[ tel que f(c)=z.

Mais je ne sais pas comment démontrer que la borne supérieure de E que j'ai noté c est elle meme la borne inférieure de E'={x dans [a,b];f(x)>z}?

Et ma démonstration ne prouve pas que l'image d'un intervalle est une intervalle ?...

[gg0]

Euh ... tu cherches à montrer quoi ? le théorème des valeurs intermédiaires ? Ou l'équivalence entre les deux formulations ?

Si c'est le théorème des valeurs intermédiaires, tu ne sembles pas utiliser jusqu'au bout la continuité de f. D'ailleurs tu utilises deux c dans ta preuve, à vue de nez pour des nombres différents (définis différemment); ou alors, il manque pas mal d'explications.

Donc tu as intérêt à être clair, dire ce que tu veux prouver, justifier chaque étape, etc.