Déterminer la raison d'une suite géométrique connaissant son premier terme et sa somme de N termes

[lut12laforet]

Bonjour,
Est-il possible de trouver une solution analytique pour déterminer la raison d'une suite géométrique, connaissant son premier terme (P), ainsi que la somme (S) de ses N premiers termes ?
En d'autres termes, existe-t-il une solution analytique à x dans l'équation :


Cela revient donc à trouver une solution à l'équation de degré N suivante :


Ou encore, puisque 1 est une solution évidente du polynôme ci-dessus, à résoudre l'équation de degré N-1 :



Merci d'avance pour votre aide !
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[Titiou64]

Bonjour,

Cela revient donc à trouver une solution à l'équation de degré N suivante :


Ou encore, puisque 1 est une solution évidente du polynôme ci-dessus

Justement, 1 ne peut pas être solution puisqu'il est en dehors du domaine de définition (cf première équation)

[gg0]

Bonjour.

Quelques réflexions rapides :

En posant le problème correctement :

On a deux cas :
* Soit , dans ce cas, la raison est soit 1 soit une des solutions de l'équation d'inconnue r :
(1) qui n'a que n-1 solutions réelles ou complexes puisque 1 est exclus
* Soit et r est une des racines de l'équation
(2)

Si on travaille dans , il y a n solutions. Dans il peut n'y en avoir aucune comme le montre le cas N=3, S=1, P=2. Si N est pair, il y a toujours au moins une solution.

Cordialement.

[lut12laforet]

Bonjour,
Merci pour vos réponses, effectivement j'aurais du préciser que dans mon problème, et que je cherche une (la ?) solution réelle (pour reprendre la notation du message précédent).
Il n'y a pas de contrainte particulière sur N, qui peut être pair ou impair (mais a priori relativement grand, disons entre 10 et 100).

Numériquement, je trouve toujours une réponse satisfaisante en quelques itérations par la méthode de Newton, en faisant l'approximation suivante pour le terme de départ :

puis en itérant :


(Pour le terme de départ, j'ai raisonné en prenant la moyenne des termes de la suite, S/N, que j'ai rapporté au premier terme P, puis élevé à la puissance . Sachant que la dérivée seconde de la fonction exponentielle sous-jacente est positive, cette approximation sera donc toujours supérieure à la solution recherchée (et d'autant plus éloignée de la solution que le rapport est grand).

[A voir en vidéo sur Futura]