Bonjours,
dans un exercice j'ai trouvé ce passage: (an)n et (bn)n deux suites réelles.
an ~ bn => ln(an) ~ ln(bn).
Mais je penses que ceci est faux car si on considère par exemple (n)n et (n+1)n , on a bien n~n+1 mais exp(n) n'est pas équivalente à exp(n+1) au voisinage de l'infini !
. Cordialement, S.
Bonjour,
Ce théorème dépendra des limites considérées : ainsi l'on peut montrer que c'est vrai pour l'infini, mais il ne faut pas le prendre à l'envers, personne n'a dit que la réciproque était vraie !Envoyé par SSTN
Ainsi au voisinage de zéro ce n'est plus vrai du tout, pour la relation indiquée.
Comprendre c'est être capable de faire.
Merci, mais je ne comprend pas de quelle réciproque tu parle?
D'accord, c'est vrai au voisinage de l'infini...mais je n'ai pas pu démontrer ça !
Je veux savoir tous les fonctions avec lesquels cette implication est correcte pour pouvoir utiliser ça dans les exercices.
. Cordialement, S.
La réciproque de
an ~ bn => ln(an) ~ ln(bn).
serait an ~ bn <= ln(an) ~ ln(bn).
ce que vous avez essayé de vérifier avec la fonction exponentielle.
Il y a un grand nombre d'équivalent possible, il est difficile de les donner tous.
Quelques exemples : x, sin(x) et tang(x) autour de zéro
ainsi que x et ( ex -1) ainsi que ln(x + 1) autour de zéro
et celles la sont réciproques : utilisables dans les deux sens.
Comprendre c'est être capable de faire.
Non, l'exemple de l'exponentiel que j'ai donné est un contre exemple pour le cas général dans le sens que j'ai donné...
Je veux savoir les fonction qui conservent l'équivalence et en quelles point?? ça les équivalents des fonctions qu'on tire des DL au voisinage de 0 je connais bien.
Par exemple peux tu me démontrer pourquoi cette implication "an ~ bn => ln(an) ~ ln(bn)" est vrai ?? J'ai essayé de démontrer, mais j'ai pas réussis.
. Cordialement, S.
Bonjour SSTN.
Tu n'as évidemment pas trouvé un contre exemple à la règle
Puisque tu as pris les exponentielles de un et vn et pas leur ln.
Considérons deux suites un et vn avecc'est à dire
Où
Alors :
Pour qu'il y ait équivalence, il faut que ln(f(n)) soit négligeable par rapport à ln(vn), ce qui est assuré si ln(un) et ln(vn) ont des limites finies (non nulles) ou infinies, mais pas si la limite est nulle ou n'existe pas.
Ce qui permet de trouver des contre-exemples comme celui-ci
On a alors
ln(vn)=0 et ln(un) n'est pas nul. Il ne peut pas y avoir équivalence. D'ailleurs ln(un) est équivalent à 1/n.
Si le vn=1 te gêne, prends
La règle classique se trouve par exemple ici.
Cordialement.
Dire que an et bn sont équivalents veut dire que pour un \epsilon donné, il existe N tel que
Je considère
Pour (an - bn) petit et bn > 1 nous pouvons écrire
donc nous avons aussi pour n > N
Comprendre c'est être capable de faire.
Non... SinonDire que an et bn sont équivalents veut dire que pour un \epsilon donné, il existe N tel que
Salut Tryss
Parle t-on de suites ou de séries, ici ?Non... Sinon
Comprendre c'est être capable de faire.
Je n'ai nul part vu le mot série prononcé avant ton post, donc on parle de suites... ce qui ne change rien a mon post.
Merci mes amis, et un merci spécial pour le roi g²0!!
Ah à propos de mon contre exemple, j'ai dis dans mon message #5 que c'est un contre exemple pour le cas général c'est à dire pour une fonction quelconque f (ou qui possède des propriétés que la fonction exponentielle possède comme la continuité par exemple...).
Pour une telle fonction f, on n'a pas l'équivalence suivante an ~ bn => f(an) ~ f(bn).
Je n'était pas clair dans le message #5.
. Cordialement, S.
Phys4,
Il s'agit de suites, nulle part il n'est question de séries.
Et la notion d'équivalence est quasiment la même pour les fonctions et pour les suites. Et n'a rien à voir avec des approximations. Les suites n² et n²+n sont équivalentes bien que leur différence tende vers l'infini.
Cordialement.
