Relation d'équivalence et classe d'équivalence

[sperca]

Bonjour à tous,

Voilà je coince sur un exercice, parce que je ne dois pas très bien comprendre la notion de classes d'équivalence et j'ai beau revenir à la définition ça ne veut pas s'imprimer...
Une relation d'équivalence est une relation qui pour x donné associe un y dans un même ensemble, et classe d'équivalence, l'ensemble des éléments répondant à cette relation toujours dans ce même ensemble.

Dans mon exercice, on me demande d'abord de montrer que c'est une relation d'équivalence, donc jusque là pas de problèmes particuliers, je montre qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.
Ensuite, on me demande de déterminer les classes d'équivalence des réels 0,1, 1/2.
La relation est la suivante : xRy <=> x²-y² = x - y.

Donc là je bloque je ne comprends pas très bien comment relier les deux ou comment avancer dans la réponse, quel chemin je dois prendre etc etc.

Voilà merci à vous pour votre aide.

Sperca

Ps: si je me suis trompé dans mes propres définitions dites-le, ça m'évitera de graver à jamais une bêtise.

[Ledescat]

Bonjour.

Dans un ensemble E, la classe d'équivalence de x, c'est l'ensemble des y appartenant à E tq y~x (ou yRx).

Ici, ta relation est donc: x~y <=> x²-y²=x-y (relation dans IR j'imagine).

La classe d'équivalence de 0, c'est { x appartenant à IR | x~0}={ x appartenant à IR | x²-0²=x-0}

Te reste plus qu'à trouver quels sont les x vérifiant cela (petite équation à résoudre).

[sperca]

Merci de ta réponse, je crois que j'ai compris.

On cherche donc les éléments x tels que leur image sera égale à 0 ?
Rechercher les classes d'équivalences des nombres réels 0, 1, 1/2 revient donc à calculer x pour f(x) = 0 etc etc ?

Dans notre cas pour la classe d'équivalence de 0 c'est -1 et 0 si j'ai bien compris. Par contre, il me reste un problème de notation. Comment j'écris de façon propre ces classes ?

Sinon si on me demande tracer le graphe de R dans R², ce graphe sera réduit à un ensemble de point (juste pour la classe d'équivalence du réel 0)? Ou je fais fausse route ?

Merci à toi.

Sperca

[Romain-des-Bois]

Salut !

Non, reprends ce que te disait Ledescat :

La classe de 0 (notée {0}/~ , de manière générale X/~ où X est un ensemble)

est l'ensemble des x réels en relation avec 0 ie des x réels qui vérifient x~0 ie x² - 0 = x - 0 <=> x² = x

La question que tu dois résoudre est : quels sont les réels égaux à leur carré (je t'aide il y en a deux et un des deux que tu avais donné était bon )


Remarque, c'était peut-être une erreur de frappe


Si X/~ est fini (on parle d'ensemble quotient en fait, c'est pour ça que je ne mets pas de e à la fin de fini), son graphe sera un nuage de points en effet.


Romain

[sperca]

Merci à toi.

Oui oui pardon, c'était une erreur de frappe... Les solutions sont 1 et 0 (je pensais à un autre exercice à ce moment là ^^). Donc sachant qu'on cherche tous les x solutions de l'équation suivante x^2 = x, on trouve 1 et 0. Ce cas étant le même pour les classes d'équivalence des réels 0,1,1/2. Comment je fais pour rédiger cette réponse ?

Et il y a autre chose que je ne comprends pas dans l'exercice, on me demande de calculer les classes d'équivalence de 0,1,1/2. Donc pour 0 et 1 le cas est identique mais pour 1/2 on se retrouve avec une unique solution qui est 1/2 justement et à la question suivante on me demande dessiner le graphe de cette relation...

Ah quoi que je crois que je viens de comprendre (comme quoi écrire montre bien les problèmes ^^) on me demande calculer les classes d'équivalences de 0,1,1/2. Ensuite on me demande de dessiner le graphe de cette relation avec les trois cas 0,1,1/2. Donc d'un coté je mets 0, 1, 1/2 et d'un autre je mets 0,1,1/2 je me retrouve à relier ce qui va ensemble 0 avec 0 et 1, 1 avec 0 et 1 et 1/2 avec 1/2, c'est ça ou je suis carrément à côté ?

(Désolé pour l'élan d'enthousiasme ^^)

Merci à vous.

Sperca

[Ledescat]

Attention , une relation d'équivalence n'est pas une fonction (je te vois parler de f(x)=0 etc...).

[homotopie]

Une relation d'équivalence est une relation qui pour x donné associe un y dans un même ensemble

Il y a un gros problème de compréhension de ce qu'est une relation d'équivalence qui comme le rappelle également Ledescat n'est pas une fonction.
Une relation d'équivalence est ce qui généralise une égalité. Un exemple de relation d'équivalence est "avoir la même couleur". Si on prend des gommettes de plusieurs couleurs, de plusieurs formes, coupés dans divers types de papier, carton, plastique... Deux gommettes sont "reliés" par cette relation si ils ont la même couleur en "oubliant" toutes leurs autres qualités. A une gommette x donnée on n'associe pas une autre gommette y mais une couleur qui n'est pas une gommette mais une classe d'équivalence dans l'ensemble des gommettes.

De même le graphe d'une relation d'équivalence se différencie du graphe d'une fonction en ceci, pour un x donné il n'y aucune raison, a priori, qu'il n'y ait qu'un couple (x,y) qui soit sur le graphe car il peut y avoir plusieurs éléments y qui satisfassent xRy (il y en a toujours un : x).
Dans ton exercice, x étant posé ne peux-tu pas trouver les divers y tels que xRy (trouver des formules liant ces divers y à x serait agréable et en plus pas bien difficile). (Indice : tu dois trouver que le graphe est constitué de deux droites)

[sperca]

Ah d'accord ok, je comprends pourquoi on dit qu'une classe d'équivalence est abstraite. Mais il y a une chose que je ne comprends pas, par exemple pour la classe d'équivalence de 0, on cherche tous les nombres tels que leurs carrés soient égaux à eux-mêmes donc ici on résoud l'équation x^2 = x et on trouve les valeurs de y suivantes 0 et 1. Maintenant mon soucis c'est que dois-je faire de cela pour le représenter, qu'est-ce que je dois en conclure ? (D'ailleurs tu dis qu'on me fixe x, ce n'est pas y car Ledescat remplace y par 0 :S)

Après on me demande la classe de 1, donc je cherche tous les nombres vérifiant la relation x^2 - 1^2 = x - 1, ce qui me ramène au cas précédent.

Et pour finir, la classe de 1/2 qui elle m'amène un changement car je cherche tous les nombres vérifiant la relation x^2 - 1/4 = x - 1/2 ce qui me ramène à x^2 + 1/4 = x.

Merci de votre aide pour m'aiguiller.

Sperca.

[homotopie]

Mais il y a une chose que je ne comprends pas, par exemple pour la classe d'équivalence de 0, on cherche tous les nombres tels que leurs carrés soient égaux à eux-mêmes donc ici on résoud l'équation x^2 = x et on trouve les valeurs de y suivantes 0 et 1. Maintenant mon soucis c'est que dois-je faire de cela pour le représenter, qu'est-ce que je dois en conclure ?

Les points de coordonnées (0,0) et (0,1) sont donc sur le graphe.

(D'ailleurs tu dis qu'on me fixe x, ce n'est pas y car Ledescat remplace y par 0 :S)

Cela revient au même car R est symétrique comme toute relation d'équivalence. Les points de coorodonnées (0,0), c'est le même du fait de la réflexivité, et (1,0) sont aussi sur le graphe.

Après on me demande la classe de 1, donc je cherche tous les nombres vérifiant la relation x^2 - 1^2 = x - 1, ce qui me ramène au cas précédent.

Tu peux aller plus vite en dianst que 1R0 donc classe(1)=classe(0).

Et pour finir, la classe de 1/2 qui elle m'amène un changement car je cherche tous les nombres vérifiant la relation x^2 - 1/4 = x - 1/2 ce qui me ramène à x^2 + 1/4 = x.

Tu résouds.

[sperca]

Donc si je résouds je trouve la valeur 1/2 donc je dois en déduire que le point de coordonnées (1/2;1/2) est sur le graphe. On sait que les points (0;0), (1;0), (0;1) sont aussi sur le graphe.

Mais avant pour le graphe tu parlais de deux droites représentant sûrement l'ensemble des nombres vérifiant cette équivalence. Donc ici, le point sur le quel je bloque c'est comment j'en déduis que la relation représente deux droites ?

Merci à toi.

Sperca

[homotopie]

Donc si je résouds je trouve la valeur 1/2 donc je dois en déduire que le point de coordonnées (1/2;1/2) est sur le graphe. On sait que les points (0;0), (1;0), (0;1) sont aussi sur le graphe.

Oui

Mais avant pour le graphe tu parlais de deux droites représentant sûrement l'ensemble des nombres vérifiant cette équivalence. Donc ici, le point sur le quel je bloque c'est comment j'en déduis que la relation représente deux droites ?

ce ne sont pas des nombres mais des couples de nombres qui sont sur le graphe. Tous les nombres x sont présents (il y a au moins (x,x) quitte à être le seul comme pour x=1/2).
La demande qui est faite pour x=0;x=1 et x=1/2 est faite je pense pour "voir un peucomment ça marche".
Tu trouveras les deux droites en ne prenant plus des valeurs particulières mais en te demandant quelle sont les y tels que xRy pour x donné.
Tu dois donc résoudre x²-y²=x-y ce qui se résout facilement en exhibant une identité remarquable. (Et tu comprendras pourquoi x=1/2 est particulière.)

[sperca]

Merci à toi,

Je viens d'exhiber l'identité remarquable x^2 - y^2 et je me retrouve avec x + y = 1 donc j'en déduis que 1/2 est une solution particulière car c'est le seul cas où x et y seront égaux tout en vérifiant l'égalité.

Donc en faisant un petit schéma, je m'aperçois que tous les couples situés sur les droites d'équation y=x et y=1-x dans l'intervalle fermé [0;1] vérifie cette relation d'équivalence.

Si c'est ça j'ai compris, mais ça voudrait dire qu'on doit aussi chercher en tâtonnant ou en se rendant compte de certaines choses en faisant des schémas et tout ça, parce que ça ne saute pas aux yeux ^^. Si ce n'est pas ça j'ai encore dû louper une étape :-S

D'ailleurs si c'est ça est-ce que vous pourriez me donner les grandes lignes de la rédaction de la réponse à une telle question.

Merci beaucoup.

Sperca

[sperca]

En fait l'intervalle ce n'est pas [0;1] mais plutôt R, car les différents couples couples (x;y) possèdent leur x sur la droite d'équation y=x et leur y sur la droite d'équation y=x-1 ou vice-versa puisqu'une relation d'équivalence est symétrique.

Je me trompe ?

Merci.

Sperca

[homotopie]

En fait l'intervalle ce n'est pas [0;1] mais plutôt R, car les différents couples couples (x;y) possèdent leur x sur la droite d'équation y=x et leur y sur la droite d'équation y=x-1 ou vice-versa puisqu'une relation d'équivalence est symétrique.

Je me trompe ?

Merci.

Sperca

C'est ça

[sperca]

Alors là je n'est qu'un mot, franchement merci

J'ai enfin compris :-p

Sperca

Merci encore.