Sous Variété et Points Fixes

[yannskin]

Salut à tous chers futuristes,
Pourriez vous m'aider à résoudre cet exercice :

. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, a ∈ E et f : E → E un difféomorphisme
de classe C^1.
On suppose qu' il existe n tq =Id et f(a)=a.
pour x E, on pose u(x)=

1)Montrer que u est un difféomorphisme local en a tel que

j'ai reussi à faire cette question, maintenant je bloque sur la question 2:

2)Soit F l'ensemble des points fixes, montrer que F est une sous variété de E.

j'hésite entre construire une paramétrisation local en tout point de F(je ne m'en sors pas) et construire un redressement local en considérant la
fonction u ou uof or il se trouve que pour la construction(redressement local) l'espace d'arrivée soit un voisinage de 0 ce qui n'est le cas pour aucune des deux fonctions considérées.


Merci d'avoir pris la peine de lire mon post et si quelqu'un a une piste,qu'il n'hésite pas, je suis preneur(enfin,..,preneur d'une bonne piste)
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[Universus]

1)Montrer que u est un difféomorphisme local en a tel que

j'ai reussi à faire cette question, maintenant je bloque sur la question 2:

2)Soit F l'ensemble des points fixes, montrer que F est une sous variété de E.

J'imagine que . Dans ce cas, la relation d'en 1) montre que effectue un changement de coordonnées selon lesquelles le difféomorphisme (local) est représenté par une (restriction d'une) application linéaire, à savoir . En particulier, il y a une correspondance bijective entre les points fixes de près de et les points fixes de près de . Or, l'ensemble des points fixes d'une application linéaire est bien connu...

C'est une preuve très intéressante je trouve !

[yannskin]

Waouh !, Merci accro, pour cette preuve spectaculaire.