Base

[max016p]

bojour,
j'ai un exercice ou je bloque...
On considère l’espace des fonctions vu en cours (F(R,R),+,·). Soit f_k ∈ F(R,R), g_k ∈ F(R, R) et h ∈ F(R, R) pour k entier définies par :
h(x) = 1,
f1(x) = cos(x) ,
f2(x) = cos(2x) ,
g1(x) = sin(x) ,
g2(x) = sin(2x) .
Soit V = vect{h, f1, f2, g1, g2}.

Montrer que B_V ={h,f1,f2,g1,g2} est une base de V.

je dois donc montrer que c'est une base donc je montre qu'elle est libre
et génératrice

j'ai écrit que B_v=(f₁²+f₂²,f₁,f₁²-g₁²,g₁,2f₁g₁}

mais je n'arrive pas a écrire la suite....

merci d'avance de m'éclairer
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[gg0]

Bonsoir.

Ce que tu as écrit n'a à priori pas de rapport avec ce que tu as à faire.
1) Pour quoi Bv est-elle génératrice ?
2) Reste à montrer qu'elle est libre. Comment fait-on habituellement ? Qu'est-ce que ça donne ici ?

A toi de faire ...

[Quazer]

Bonsoir,

Pour montrer que la famille est libre il faut montrer que les vecteurs de ta famille sont linéairement indépendants, autrement dit, tu appliques la méthode du cours pour le vérifier :

Soit (x₁, x₂, ..., x₅) in ⁵, tu dois montrer x₁*h(x) + ... = 0 x_i=0

Pour montrer que la famille est génératrice, montre que tout vecteur de ton ensemble peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de ta famille.

Donc soit f un élément de ...

Bon courage

[Rizmoth]

Bonjour max016p,

Soit V = vect{h, f1, f2, g1, g2}.

Montrer que BV ={h,f1,f2,g1,g2} est une base de V.
je dois donc montrer que c'est une base donc je montre qu'elle est libre
et génératrice

Rappelles-toi la définition et une des propriétés fondamentales de la notion de Vect. Qu'est ce que le Vect d'une famille de vecteurs? Est-ce que sa nature-même ne te rend pas la tâche nettement moins ardue ? (pour ne pas dire que ça fait la moitié du travail)

Cordialement,

Rizmoth.

[A voir en vidéo sur Futura]