Bonjour.
La fonction zêta de la variable complexe s, est égale à :
zéta = Produits des 1/(1-p^-s) avec p = suite des nombres premiers
La courbe représentant la fonction zêta ressemble à un entrelac de
boucles, une sorte de marguerite avec une infinité de pétales.
Riemann proposa en 1859 une célèbre hypothèse :
Les zéros non-triviaux de la fonction zêta, sont tous situés sur la
droite Réel(s)=0,5
Je propose une nouvelle piste de recherche pour démontrer cette hypothèse :
Les zéros triviaux sont les nombres entiers pairs négatifs : -2 , -4 , -6 , etc
Les premiers zéros complexes (non triviaux) sont :
z1 = 0,5 + 14,134 i
z2 = 0,5 + 21,022 i
z3 = 0,5 + 25,010 i
z4 = 0,5 + 30,424 i
et symétriquements par rapport à l'axe des x :
z'1 = 0,5 + 14,134 i
z'2 = 0,5 + 21,022 i
z'3 = 0,5 + 25,010 i
z'4 = 0,5 + 30,424 i
on a donc z et z' conjugués par paires.
Actuellement,15 milliards de zéros complexes ont été calculés par
ordinateur : ils sont tous sur la droite x=0,5
La fonction zêta est auto-similaire comme le flocon de neige de VON KOCH.
Le premier niveau du flocon de neige de VON KOCH est un triangle équilatéral.
Le 2ième niveau est obtenu en remplaçant chaque côté par un nouveau
triangle équilatéral plus petit.
Et ainsi de suite jusqu'à un niveau infini.
Le premier niveau de ce flocon de neige admet un axe de symétrie vertical.
De même pour tous les niveaux puisque c'est une courbe auto-similaire.
Pour la fonction zêta, qui est auto-similaire, il suffit donc de
calculer tous les zéros du premier niveau et vérifier qu'ils sont tous
alignés sur la droite x=0,5.
Tous les autres zéros jusqu'à des niveaux infinis, seront
automatiquement alignés sur la droite x=0,5 puisque zêta est
auto-similaire.
L'hypothèse de Riemann serait ainsi démontrée !
Reste à préciser le premier niveau d'auto-similarité de la fonction zêta.
Combien de zéros complexes faut-il calculer pour être sur de couvrir
le premier niveau d'auto-similarité ?
Est-ce que la première boucle de zêta correspond au premier niveau
d'auto-similarité ?
En tout cas, il me semble que le fait d'avoir calculé les 15 premiers
milliards de zéros complexes doit être largement suffisant pour
couvrir le premier niveau d'auto-similarité ?
Peut-on trouver une confirmation dans la répartition des nombres
premiers parmi les entiers ?
Riemann avait écrit que la fonction zêta était intimement liée à la
répartition des nombres premiers.
Regardons le graphe de la fonction d(x) = Pi(x) - Li(x)
avec Pi(x) = nombre de Nombres Premiers inférieurs ou égal à x
et Li(x) = Logarithme intégral de x ( Li(x) = somme de 2 à x de dt/logt )
Littlewood a démontré en 1914, que d(x) s'annule une infinité de fois.
Le premier zéros de cette fonction d(x) est égal à 1.39822 x 10^316
10^316 est nettement plus grand que 15 milliard.
Heureusement, la répartition des nombres premiers a été affinée depuis :
Le premier zéros de cette nouvelle fonction d(x) est égal à environ 4
millions et le deuxième zéros a environ 10 millions.
Le graphe de cette nouvelle fonction d(x) ressemble à une sorte de
sinusoïde dont l'amplitude augmente sans cesse lorsque x croit, et
dont la pseudo-période croit aussi à chaque alternance.
Cette nouvelle fonction d(x) est manifestement auto-similaire ?
En raison du lien entre la répartition des nombres premiers et la
fonction zêta, on peut être conforté dans le fait que le calcul des 15
premiers zéros de zêta, couvre le premier niveau d'auto-similarité ?
Qu'en pensez-vous ?
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Envoyé par Gabriel 
est une fonction de 
