Hypothèse de Riemann indécidable ?

[azt]

Bonjour à tous,
Je suis en train de lire "La synphonie des nombres premiers" de Marcus du Sautoy. (Très interessant et bien vulgarisé et imagé au passage).

J'en suis arrivé à un passage où l'auteur parle de Cohen et de ses recherches pour démontrer l'hypothèse de Riemann :

Si Cohen démontre que l'hypothèse de Riemann est indécidable à partir des axiomes des mathématiques, il aura prouvé que l'hypothèse est en fait vraie !
Si elle est indécidable, alors, soit elle est fausse et nous ne pouvons le démontrer, soit elle est vraie et nous ne pouvons le démontrer. Mais si elle est fausse, alors un zéro doit échapper à la droite critique, un zéro que l'on peut utiliser pour prouver qu'elle est fausse. Elle ne peut être fausse sans que nous ne puissions le démontrer. Par conséquent la seule façon qu'à l'hypothèse de Riemann d'être improuvable est d'être vraie, mais nous ne pouvons toujours pas démontrer que tous les zéros se situent le long de la droite.

Ce raisonnement ne me convient guère. Si avec une hypothèse de Riemann démontrée indécidable l'on peut prouver qu'elle est en fait décidable (vraie ou fausse), il y a un problème de logique.
Pour moi, ce raisonnement montre que l'hypothèse de Riemann ne peut pas être indécidable et qu'il est inutile d'en chercher une démonstration (de cette indécidabilité); puisqu'il "suffit" de trouver un zéro hors de la droite.

Le seul moyen que je vois pour sortir de cette impasse logique serait de prouver que le premier zéro non situé sur la droite de Riemann est tellement loin que l'on ne pourra jamais l'atteindre quelques soient nos avancées aussi bien en mathématiques et en informatique. On pourra donc considérer en approximation que l'hypothèse est vraie, puisque nous ne rencontrerons jamais de zéros hors de la droite

Puis-je avoir vos remarques ?

[fderwelt]

Bonjour,

D'accord avec toi, ce raisonnement est trop résumé pour être convaincant... Pour tout dire, tel que tu l'as écrit, il est complètement fumeux.

Si l'hypothèse de Riemann est indécidable, ça veut dire qu'on ne pourra jamais trouver un zéro hors de la droite critique en un temps fini (ou même polynomial, mais on ne va pas trop chipoter). Ça ne veut pas dire qu'elle est vraie ou fausse (d'ailleurs c'est exactement ça que veut dire le mot "indécidable").

Si l'hypothèse de Riemann est indécidable, un tel zéro ne peut être que "hors de portée", donc pas à distance finie, donc hors du plan complexe, donc l'hypothèse de Riemann serait vraie.

Tout ce que ce raisonnement montre, c'est que si l'hypothèse de Riemann est indécidable, alors elle est forcément vraie, donc décidable. Donc elle ne peut pas être indécidable. Donc un jour on saura si elle est vraie ou fausse. Maintenant, dire quel jour... je ne suis pas prophète!

-- françois

P.S. - Tout ça a l'air de se mordre la queue, mais c'est souvent le cas en Logique. Trois aspirines et à jeûn, ça se comprend très bien.

[matthias]

Ce raisonnement ne me convient guère. Si avec une hypothèse de Riemann démontrée indécidable l'on peut prouver qu'elle est en fait décidable (vraie ou fausse), il y a un problème de logique.
Pour moi, ce raisonnement montre que l'hypothèse de Riemann ne peut pas être indécidable et qu'il est inutile d'en chercher une démonstration (de cette indécidabilité); puisqu'il "suffit" de trouver un zéro hors de la droite.

Non ce raisonnement ne montre absolument pas que l'hypothèse ne peut pas être indécidable. Cela montre juste que si elle est indécidable (ce qui est possible) alors on ne peut pas prouver cette indécidabilité. Donc effectivement chercher à prouver qu'elle est indécidable ne sert à rien.
On a le même problème avec la conjecture de Goldbach (et il y a un fil là-dessus).

[azt]

Merci pour les commentaires
Est-ce que démontrer que le premier zéro hors de la droite de Riemann est hors de portée, c'est démontrer que l'hypothèse est indécidable ?

[invité576543]

Merci pour les commentaires
Est-ce que démontrer que le premier zéro hors de la droite de Riemann est hors de portée, c'est démontrer que l'hypothèse est indécidable ?

Je ne vois pas comment il peut y avoir de définition rigoureuse de "hors de portée" qui permettrait de dire ce qui tu dis.

Cordialement,

[fderwelt]

Bonjour,

Je ne cite pas tous les posts précédents, mais prière de vous y reporter...

Pour moi, ce raisonnement montre que si l'hypothèse de Riemann est indécidable, alors elle est décidable. Donc elle ne peut pas être indécidable.

Maintenant, on peut faire de la méta-méta-logique: est-ce que l'indécidabilité de la HR (hypothèse de Riemann) est elle-même décidable?

Quand on en arrive là, je maintiens le coup des trois aspros et à jeûn.

En fait, je crois qu'il y a un vrai problème de vocabulaire. Indécidable ne veut pas dire non-décidable. Et mon raisonnement à moi repose sur une contraposition, très naturelle, mais en Logique il ne faut pas se fier à l'intuition. Le raisonnement montre que:

indécidable => vrai => décidable

d'où je déduis par contraposition:

non-décidable => non-indécidable

ce qui n'est pas pareil... vous savez que ça rend sourd ce genre de manip'?

-- françois

[invité576543]

Pour moi, ce raisonnement montre que si l'hypothèse de Riemann est indécidable, alors elle est décidable. Donc elle ne peut pas être indécidable.

Pas d'accord. La formulation de Mattias me semble être la bonne. C'est "Donc elle ne peut pas être prouvée indécidable". C'est assez tordu, il y a une régression à l'infini sous-jacente: "l'hypothèse de Riemman est indécidable" est elle-même une hypothèse, qui peut être vraie, fausse ou indécidable. "l"hypothèse que (l'hypothèse de Riemman est indécidable) est indécidable" est elle-même vraie, fausse ou indécidable... Si vous n'avez pas encore le vertige devant l'abime qui s'ouvre devant vous, y'a un problème...

Cordailement,

[fderwelt]

La formulation de Mattias me semble être la bonne. C'est "Donc elle ne peut pas être prouvée indécidable".

Bonjour,

Parfaitement d'accord. C'est en gros ce que j'essayais de dire, mais je ne suis pas logicien. Il y a des grosses différences entre décidable, prouvable, non-décidable, non-prouvable, indécidable, non-indécidable... mais nos pauvres mots ne permettent pas d'exprimer facilement ce genre de nuances, que déjà mes pauvres boyaux de la tête ont du mal à digérer.

-- françois

P.S. - En relisant mon post, je me suis aperçu que mon doigt avait rippé, et que j'avais écrit "indévidable" au lieu de "indécidable"... Acte manqué? Lapseur révélatus?

[jreeman]

la droite de Riemann est tellement loin que l'on ne pourra jamais l'atteindre quelques soient nos avancées aussi bien en mathématiques et en informatique

Est-ce que démontrer que le premier zéro hors de la droite de Riemann est hors de portée

Tu suppose qu'il existe un objet mathématique hors de portée à l'homme en quelque sorte.

Pour moi, prouver que cet objet existe, c'est prouvé que Dieu existe.

Donc bonne chance...

[jreeman]

Pour ma part, je suis tout à fait d'accord avec Marcus du Sautoy.

[fderwelt]

Tu suppose qu'il existe un objet mathématique hors de portée à l'homme en quelque sorte.

Pour moi, prouver que cet objet existe, c'est prouvé que Dieu existe.

C'est pourtant bien ça que ça veut dire. "Hors de portée" veut dire "impossible à exprimer en un nombre fini (même énorme) de symboles", ce qui suppose un alphabet au plus dénombrable, enfin il me semble...
C'est là que ça rend sourd.
Je crois que le plus sage est de se ranger au bon sens, et d'accepter le raisonnement de Marcus du Sautoy, même s'il n'est pas très satisfaisant intellectuellement. Ou alors, relire le Da Vinci Code, ce qui l'est encore moins.

-- françois

[invité576543]

Comme complément, je pense qu'il y a un problème avec le mot "indécidable". Il se réfère toujours à un système formel. On peut imaginer que l'hypothèse de Riemann soit vraie, et que en même temps il n'existe pas de système formel (autre que trivial) qui permette de la prouver.

Le nombre de systèmes formels est somme toute limité (c'est dénombrable!). L'idée que quelque chose puisse être prouvée vraie ou fausse dépend de la disponibilité d'un système formel adéquat... Dire "c'est indécidable" c'est une affirmation portant sur la relation entre une assertion et un système formel, et pas vraiment sur l'assertion en elle-même.

(Par trivial, j'entend un système formel qui contienne l'affirmation "tout les zéros sont sur la droite 1/2" ou équivalent comme axiome. Un travail intéressant est au passage de trouver des équivalents, comme il a été fait pour P/NP. Je ne sais pas ce qu'il en est de l'hypthèse de Riemann...)

Cordialement,

[azt]

Ou alors, relire le Da Vinci Code, ce qui l'est encore moins.

Tu veux parler du livre où la plupart des énigmes sautent aux yeux ?

Je relie encore plusieurs fois les commentaires avant de fixer mon avis.

[fderwelt]

Tu veux parler du livre où la plupart des énigmes sautent aux yeux ?

Je relie encore plusieurs fois les commentaires avant de fixer mon avis.

Voui. Je suis content, je l'ai acheté en édition de poche pour 7 euros (au lieu de 15 normalement), j'ai craqué au bout de trois pages, par acquit de conscience j'ai poussé au bout des trois premiers chapitres, après je suis allé engueuler ma libraire de m'avoir laissé acheter une merde pareille, et elle m'a dit "vous savez, on est une toute petite librairie de quartier, et ça fait plus de 20% de notre chiffre d'affaires, on va pas cracher dans la soupe...".

Pour mmy:

Il y a une notation pour ça. Dans un système formel T, on écrit T|=P pour dire que la proposition P peut être (en un nombre fini d'étapes) démontrée dans le système d'axiomes de T.
Cela dit, c'est un domaine que je connais très mal, alors je préfère éviter de dire des conries. Ya que ceux qui se taisent toujours qui n'en disent jamais...

-- françois

[invité576543]

Voui. Je suis content, je l'ai acheté en édition de poche pour 7 euros (au lieu de 15 normalement), j'ai craqué au bout de trois pages, par acquit de conscience j'ai poussé au bout des trois premiers chapitres, après je suis allé engueuler ma libraire de m'avoir laissé acheter une merde pareille, et elle m'a dit "vous savez, on est une toute petite librairie de quartier, et ça fait plus de 20% de notre chiffre d'affaires, on va pas cracher dans la soupe...".

Je continue le HS: Je l'ai lu très tôt, en anglais, pour le lire en avion pour passer le temps, avant qu'il ait un quelconque succès. Je l'ai donc fini, en me marrant régulièrement sur les erreurs (l'auteur n'a jamais été à Paris ou même regarder une carte...). Et alors je n'aurais pas mis un kopeck sur son succès ultérieur... Quand je réfléchis en arrière, je crois que le titre avait attiré mon regard. Est-ce que cela suffit pour démarrer une réaction en chaîne? Bizarre, bizarre,...

Cordialement,