Hypothèse de Riemann indécidable ?

[eirtemoeg]

Il est possible de bâtir un logiciel qui permet d'appliquer ces résultats ; je le possède (mais c'est une exclusivité). Je rentre un nombre impair quelconque et le résultat qui s'affiche me dit si ce nombe est premier ou pas ; de plus il m'indique les nombres premiers suivants. Mon PC fonctionne avec un Pentium III et il rame dès qu'on dépasse 10 puissance 10 ; mais je vais m'équiper et j'espère que les limites accessibles vont reculer.

[jreeman]

Petite question : c'est une conjoncture ou ca a été déjà démontré ?

[matthias]

Petite question : c'est une conjoncture ou ca a été déjà démontré ?

Tu ne confondrait pas conjoncture et conjecture par hasard ?

[jreeman]

Ha si, tiens lol.

[Sylvestre]

Ça m'a remis en mémoire la distinction décidable/indécidable, démontrable/non-démontrable, réfutable/non-réfutable. Bon, ça n'est pas mon domaine, mais je crois que matthias a raison: le problème est "est-ce que c'est vrai ou est-ce que c'est faux?".

Bonjour,

Je me permets d'intervenir dans ce fil très intéressant. J'ai réfléchi un peu aux différences entre l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach concernant l'indécidabilité.
On a déjà montré dans l'autre fil concernant Goldbach que si cette conjecture est fausse dans le modèle IN, alors elle est réfutable et donc décidable dans la théorie de Peano. Cela est du au fait qu'un contre-exemple à Goldbach se transpose immédiatement dans la théorie des entiers de Peano. En gros cela est du au fait qu'un nombre entier de IN s'écrit de manière claire dans la théorie. Je vient maintenant à la différence avec Riemann.
Pour Riemann, l'existence d'un contre-exemple (un zéro de zeta qui ne soit pas sur l'axe 1/2), n'implique pas qu'on puisse l'écrire dans la théorie des ensembles. En effet, comme cette théorie ne contient qu'un nombre dénombrable de termes, elles ne peut décrire qu'un nombre dénombrable de nombres complexes et donc il existe des complexes qui ne sont pas descriptible dans la théorie des ensemble. Donc, il se peut très bien que la conjecture de Riemann soit fausse et indécidable.

A bientôt

[Stibium]

Bonjour! Après lecture du fil sur Goldbach, je m'interroge: Sylvestre, comment définis-tu "vrai" et "faux"? Je crois me souvenir que

"A démontrable dans une théorie T"= il existe un ensemble de signes (parenthèses, lettres, flèches) et de règles d'inférence permettant de passer des axiomes de la théorie T à l'énoncé A.

"A réfutable dans une théorie T"= il existe un ensemble de signes et de règles d'inférence permettant de passer des axiomes de la théorie T à l'énoncé "non A".


"A indécidable dans une théorie T"= l'ensemble des énoncés que l'on peut construire, à partir des règles d'inférence et des axiomes de la théorie T auxquels on ajoute A, est non-contradictoire (c'est-à-dire qu'il ne contient pas à la fois un énoncé E et son contraire non-E), et l'ensemble des énoncés construits à partir des règles d'inférence et des axiomes de la théorie T auxquels on ajoute non-A n'est pas contradictoire non plus.

Mais je ne me souviens pas qu'il y ait ce que tu appelles "vrai" ou "faux". Même si on parle de modèle plutôt que de théorie, une proposition considérée comme vraie dans un modèle est soit un axiome, soit une proposition qui a été dérivée des axiomes par les règles d'inférence de la théorie. Donc finalement "vrai" serait synonyme de démontrable... et "faux" de réfutable. Il n'y aurait donc rien de tel que "faux et indécidable"...

[jreeman]

Donc finalement "vrai" serait synonyme de démontrable... et "faux" de réfutable

En gros, ce que je comprends, c'est qu'on peut dire que c'est faux à partir du moment où on peut trouver une théorie faites d'axiomes qui permettent de conclure que c'est faux.

Mais rien n'empeche peut etre aussi de trouver une théorie faites d'axiomes qui permettent de conclure que c'est vrai.

A ce moment moi je crois qu'on dit que c'est vrai peut etre parceque la théorie qui dit que c'est vrai est plus naturelle ou parcequ'elle est plus proche de la théorie de départ, celle dans laquelle on ne peut pas dire si c'est vrai ou faux car c'est indécidable.

Je suis sur la bonne voie ou je me goure compltement ?

[Sylvestre]

Bonjour! Après lecture du fil sur Goldbach, je m'interroge: Sylvestre, comment définis-tu "vrai" et "faux"?

Mais je ne me souviens pas qu'il y ait ce que tu appelles "vrai" ou "faux". Même si on parle de modèle plutôt que de théorie, une proposition considérée comme vraie dans un modèle est soit un axiome, soit une proposition qui a été dérivée des axiomes par les règles d'inférence de la théorie. Donc finalement "vrai" serait synonyme de démontrable... et "faux" de réfutable. Il n'y aurait donc rien de tel que "faux et indécidable"...

Tout ce que tu dis est très juste, sauf le fait que "vrai" est synonyme de démontrable. Comme je l'ai un peu expliqué dans l'autre fil, le "vrai" et le "faux" n'existent qu'au niveau des modèles.
C'est le théorème de complétude de Gödel qui permet de dire que si une proposition est vraie dans tous les modèles d'une théorie alors elle est démontrable dans cette théorie.

De ce théorème, on déduit que si une proposition est indécidable, alors il existe un modèle dans lequel elle est vraie et un autre modèle dans lequel elle est fausse. J'avais donné comme exemple la théorie d'Euclide sans l'axiome des parallèle. Dans cette théorie la proposition donnée par l'axiome des parallèle est vraie dans le modèle du plan Euclidien, mais fausse sur le modèle de la sphère de Riemann.

Dans un modèle une proposition peut être vraie, sans qu'il existe la moindre démonstration dans la théorie correspondante. C'est une notion première. Pour aller plus loin, il faut aller dans une théorie plus puissante qui puisse parler du modèle lui-même (la théorie des ensemble pour mon exemple de la géométrie )pour prouver la proposition du modèle.

[Stibium]

De ce théorème, on déduit que si une proposition est indécidable, alors il existe un modèle dans lequel elle est vraie et un autre modèle dans lequel elle est fausse. J'avais donné comme exemple la théorie d'Euclide sans l'axiome des parallèle. Dans cette théorie la proposition donnée par l'axiome des parallèle est vraie dans le modèle du plan Euclidien, mais fausse sur le modèle de la sphère de Riemann.

Donc si A est indécidable dans T, alors A est vraie dans (T+A) et fausse dans (T+non-A).

Mais ca veut donc dire aussi que A est démontrable (de façon triviale!) dans (T+A), et que A est réfutable dans (T+non-A).

Donc il semble qu'il n'y a pas de proposition qui soit vraie dans T tout en étant indécidable dans T. Ou alors l'expression "vrai dans T" n'a pas de sens, auquel cas toute proposition est vraie (puisqu'il suffit de la choisir comme axiome!) est la notion de "vrai" n'a aucun intéret...

[invité576543]

Donc si A est indécidable dans T, alors A est vraie dans (T+A) et fausse dans (T+non-A).

Mais ca veut donc dire aussi que A est démontrable (de façon triviale!) dans (T+A), et que A est réfutable dans (T+non-A).

Donc il semble qu'il n'y a pas de proposition qui soit vraie dans T tout en étant indécidable dans T. Ou alors l'expression "vrai dans T" n'a pas de sens, auquel cas toute proposition est vraie (puisqu'il suffit de la choisir comme axiome!) est la notion de "vrai" n'a aucun intéret...

Le notion de vrai n'a aucun intérêt.

Seul existe "A démontré dans T".

La logique formelle n'est pas toujours trivialement applicable, parce qu'elle contient le tiers exclus. Rephrasé: le mot "vrai" n'a de sens que dans le système formel de la logique formelle, et celle-ci inclut comme vrai "("A vrai" ou "non-A vrai) - le tiers-exclus.

Le théorème de Gödel peut être compris comme disant qu'il n'existe pas nécessairement dans un système formel une notion qui ait les propriétés de "vrai" du système de la logique formel.

La notion "A démontré dans T", qui est ce qu'intuitivement on voudrait vouloir dire "vrai" avec son alternative "non-A démontré dans T" comme "faux" ne respectent pas nécessairement le tiers exclus, à savoir ("A démontré dans T" ou "non-A démontré dans T") peut être fausse dans la méta-théorie dans laquelle cela a un sens (celle qui inclut la propriété "démontré dans").

Et on a rien trouvé qui respecte systématiquement le tiers exclus. Donc la notion de "vrai" est limitée aux systèmes formels complets, et chercher à l'étendre au-delà n'a aucun intérêt.

Cordialement,

[neqer]

Juste pour compléter les définitions :

"faux" signifie "non vrai", donc tout énoncé est soit vrai, soit faux.

"indécidable" signifie "non prouvable et non réfutable" dans un système donné, ceci n'est pas en rapport avec la véracité de l'énoncé.

En particulier, non prouvable n'implique pas faux et non réfutable n'implique pas vrai. Par contre évidemment, prouvable => vrai et réfutable => faux

[invité576543]

J'ajoute un point, qui peut aider à comprendre pourquoi on utilise la notion de "vrai".

La notion de "vrai" dans un système cohérent et non complet peut être utilisée pour des sous-ensembles bien caractérisés de proposition, sosu-ensemble éventuellement infini.

Par exemple en arithmétique, l'ensemble des propositions "n=m" avec n et m deux entiers ne contient que des propositions décidables, et on peut par abus de langage appeler cela "vrai" ou "faux".

Mais la notion n'est pa généralisable à toute proposition du système formel de l'arithmétique.

Ce qui nous trouble, nous humains, c'est l'existence de telles sous-ensembles de propositions vs. la non généralisation.

Cordialement,

[Sylvestre]

Donc si A est indécidable dans T, alors A est vraie dans (T+A) et fausse dans (T+non-A).
Mais ca veut donc dire aussi que A est démontrable (de façon triviale!) dans (T+A), et que A est réfutable dans (T+non-A).
Donc il semble qu'il n'y a pas de proposition qui soit vraie dans T tout en étant indécidable dans T. Ou alors l'expression "vrai dans T" n'a pas de sens, auquel cas toute proposition est vraie (puisqu'il suffit de la choisir comme axiome!) est la notion de "vrai" n'a aucun intéret...

La notion de vérité n'a pas de sens dans une théorie, elle n'en a que dans un modèle. Dans une théorie on ne peut faire que des démonstrations, c'est pourquoi seule la notion de démontrabilité existe. Dans un modèle, il y a des fait :

P. ex, dans le modèle du plan euclidien, la proposition disant qu'à une droite, il n'existe qu'une seule parallèle est vraie, mais elle n'est pas démontrable avec les quatre premiers axiomes d'Euclide. (je sais que je me répète).

Ce n'est pas parce que la notion n'a pas de sens dans une théorie que toute proposition est vraie, cela n'a pas de sens, c'est tout.

[invité576543]

Juste pour compléter les définitions :

"faux" signifie "non vrai", donc tout énoncé est soit vrai, soit faux.

"indécidable" signifie "non prouvable et non réfutable" dans un système donné, ceci n'est pas en rapport avec la véracité de l'énoncé.

En particulier, non prouvable n'implique pas faux et non réfutable n'implique pas vrai. Par contre évidemment, prouvable => vrai et réfutable => faux

Pas d'accord, parce que cela au mieux définit vrai et faux. Pour faire mieux, il faut définir vrai/faux indépendamment de prouvable/réfutable. Comment faire?

Cordialement,

[Sylvestre]

Le notion de vrai n'a aucun intérêt.

Je ne suis pas d'accord, cette notion a un énorme intérêt, mais pas dans les théories, elle en a dans les modèles

Le théorème de Gödel peut être compris comme disant qu'il n'existe pas nécessairement dans un système formel une notion qui ait les propriétés de "vrai" du système de la logique formel.

Quand j'ai invoqué le théorème de Gödel, je voulais parler du théorème de complétude et non de celui d'incomplétude.

Et on a rien trouvé qui respecte systématiquement le tiers exclus. Donc la notion de "vrai" est limitée aux systèmes formels complets, et chercher à l'étendre au-delà n'a aucun intérêt.

La notion de vraie n'a d'intérêt que dans le modèle, mais pas dans les théories, je suis d'accord