Hypothèse de Riemann indécidable ?

[matthias]

Je ne vois ici qu'une relation structurelle entre systèmes formels... Qu'on "voit" les sous-systèmes formels comme différents, c'est faire de la physique, pas des maths, c'est-à-dire les plaquer sur ce qu'on perçoit comme réalité.

Je suis d'accord et c'est pour ça que je dis que cette vision me gêne. Ca revient preque à essayer de tout transcrire dans un espace physique euclidien (ce qui ne correspond pas forcément à la réalité). On tourne un peu en rond.

Mais la notion de traduction de Sylvestre me gêne aussi (ou je la comprends mal plus probablement). Le modèle serait un ensemble avec une fonction de traduction, mais un ensemble de quoi, une traduction vers quoi, vers une théorie plus large ?

Donc j'en reviens à ma question précédente : ce ne serait pas plus clair de considérer une théorie munie d'une fonction de l'ensemble des propositions vers l'ensemble {Vrai, Faux} (une table de vérité donc) ?
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[invité576543]

Quelle est la valeur de vérité de la proposition si A peut-être ni vraie, ni faux ?

Dans un modèle chaque proposition est soit vraie soit fausse, grâce au tiers exclus.

Je suis perdu...

Cordialement,

[matthias]

Quelle est la valeur de vérité de la proposition si A peut-être ni vraie, ni faux ?

J'ai l'impression que ce que tu fais reviens à remplacer le mot "prouvable" par "vrai".

Justement si on assigne à chaque proposition une valeur de vérité, A ne peut pas être ni vraie ni fausse, et on ne remplace pas prouvable par vrai puisque on assigne une valeur de vérité même aux propositions indécidables. La seule question est l'existence d'une telle table de vérité (un modèle ? )

[invité576543]

Donc j'en reviens à ma question précédente : ce ne serait pas plus clair de considérer une théorie munie d'une fonction de l'ensemble des propositions vers l'ensemble {Vrai, Faux} (une table de vérité donc) ?

Il me semble que dans tout système formel existe le sous-ensemble des propositions démontrables ou de négation démontrable. Mais le problème de la démontrabilité est bien l'absence d'algo permettant de savoir une proposition donnée a priori y appartient ou non. On tourne en rond...

Et si c'est bâtir la table progressivement, eh bien, n'est-ce pas exactement ce que font les mathématiciens?

Cordialement,

[invité576543]

Justement si on assigne à chaque proposition une valeur de vérité, A ne peut pas être ni vraie ni fausse, et on ne remplace pas prouvable par vrai puisque on assigne une valeur de vérité même aux propositions indécidables. La seule question est l'existence d'une telle table de vérité (un modèle ? )

Je n'avais pas compris que tu associais à toute proposition une valeur. Mais comment garantis-tu la cohérence?

Même si on peut garantir la cohérence, il y a vraisemblablement plusieurs tables possibles. Le choix est alors arbitraire. Pas très universelles comme maths!

Cordialement,

[matthias]

Il me semble que dans tout système formel existe le sous-ensemble des propositions démontrables ou de négation démontrable. Mais le problème de la démontrabilité est bien l'absence d'algo permettant de savoir une proposition donnée a priori y appartient ou non. On tourne en rond...

Et si c'est bâtir la table progressivement, eh bien, n'est-ce pas exactement ce que font les mathématiciens?

Mais je ne parle pas de propositions démontrables ou pas. Ma proposition est de considérer une table de vérité pour toutes les propostions, même les indécidables. Certaines valeurs sont imposées par la théorie (pour les décidables) et pour d'autres non. Il peut donc exister plusieurs tables de vérités pour une même théorie.
Mais je sens que tu est réticent. On est parti das un débat sur le constructivisme là non ?

[EDIT : tu m'a devancé. Plusieurs tables possibles, comme plusieurs modèles possibles ...]

[invité576543]

J'envois trop vite...

Ce que je comprends maintenant c'est le système d'ajout d'axiomes. Un énoncé indécidable auquel on attribue une valeur de vérité, c'est juste le transformer en axiome.

Si c'est cela, rien de neuf. On se retrouve avec des classes d'équivalence entre sous-systèmes formels.

Cordialement,

[invité576543]

Mais je sens que tu est réticent. On est parti das un débat sur le constructivisme là non ?

Pas réticent, je cherche juste à comprendre, ou à raccrocher à ce que je connais peut-être dans d'autres termes. Trouver l'équivalence, quoi

[matthias]

Ce que je comprends maintenant c'est le système d'ajout d'axiomes. Un énoncé indécidable auquel on attribue une valeur de vérité, c'est juste le transformer en axiome.

Si on veut, sauf que l'on a pas besoin de connaître la table de vérité en question, juste de supposer qu'elle existe (et ainsi utiliser le tiers exclu).

Imposer une valeur de vérité à une proposition précédemment indécidable, là oui, on ajoute un axiome.

[invite7863222222222]

Tu peux regarder du côté de l'analyse non standard

Oui mais je suis pas d'accord, dans l'analyse non standart on rajoutes 3 nouvels axiomes, donc la théorie a changé.

[matthias]

dans l'analyse non standart on rajoutes 3 nouvels axiomes, donc la théorie a changé.

Mais les axiomes de la théorie standard sont encore là. Ils n'induisent pas de contradiction avec la construction des entiers non standards. C'est donc bien que ces axiomes sont compatibles avec plusieurs modèles d'entiers.

[Sylvestre]

Justement si on assigne à chaque proposition une valeur de vérité, A ne peut pas être ni vraie ni fausse, et on ne remplace pas prouvable par vrai puisque on assigne une valeur de vérité même aux propositions indécidables. La seule question est l'existence d'une telle table de vérité (un modèle ? )

Oui, désolé je n'avais pas bien compris ce que tu voulais dire. Je suis sûr que construire la table de vérité et montrer qu'elle est cohérente est équivalent à faire un modèle de la théorie.

[Sylvestre]

Ce que je comprends maintenant c'est le système d'ajout d'axiomes. Un énoncé indécidable auquel on attribue une valeur de vérité, c'est juste le transformer en axiome.

C'est une manière de faire, mais dans ce cas, on se retrouve avec une théorie plus restreinte dans le sens qu'elle possède moins de modèle.
A mon avis (et c'est mon avis), il ne faut pas parler de vérité dans les théories. Cela ajoute de la confusion.

[invité576543]

Il me semble que l'attribution de valeur de vérité n'est pas libre pour les propositions démontrables ou de négation démontrable. Il s'ensuit que la seule modification entre une théorie et un modèle (si c'est la table de vérité) est bien la transformation d'un ou plusieurs (et vraisembablement une infinité pour l'arithmétique) propositions en axiomes. Qu'est-ce que cela peut être d'autre?

Dans ce cas, seul le mot "modèle" était neuf pour moi!

Cordialement,

EDIT: croisement, mais ma question reste quand même

[matthias]

Je suis sûr que construire la table de vérité et montrer qu'elle est cohérente est équivalent à faire un modèle de la théorie.

OK. Mais en fait je ne sais pas si on a beaucoup avancé. Disons que c'est conceptuellement plus simple de parler de table de vérité, mais pour démontrer sa cohérence c'est une autre histoire. Or justement c'est censé être un des intérêts des modèles : en calquant un modèle (supposé cohérent) sur une théorie, on montre la cohérence de la théorie. Mais bon, tant qu'on est d'accord que les deux visions sont équivalentes

Ce que je trouve intéressant, c'est que dans ce cadre là on peut parler de vrai et de faux, de tiers exclu, de propositions vraies mais non démontrables, etc. Certains trouveront peut-être que ça embrouille les choses, mais moi je trouve ça plus clair.

[invité576543]

A mon avis (et c'est mon avis), il ne faut pas parler de vérité dans les théories. Cela ajoute de la confusion.

Je suis d'accord, le mot "vrai" ne devrait être formalisé uniquement si le tiers exclus est respecté. Ensuite, pour que ce ne soit pas applicable aux théories, il suffit de ne considérer comme théorie que les systèmes formels avec un nombre fini d'axiome, non? Les modèles deviennent alors les systèmes formels complets, avec un nombre fini ou infini d'axiomes. La fonction de traduction est alors la table de vérité.

Ou n'ai je encore rien compris?

Cordialement,

[matthias]

Il me semble que l'attribution de valeur de vérité n'est pas libre pour les propositions démontrables ou de négation démontrable. Il s'ensuit que la seule modification entre une théorie et un modèle (si c'est la table de vérité) est bien la transformation d'un ou plusieurs (et vraisembablement une infinité pour l'arithmétique) propositions en axiomes. Qu'est-ce que cela peut être d'autre?

On peut voir ça comme ça, mais si on ne connaît pas les axiomes qu'on a rajouté, peut-on vraiment parler d'axiomes ?

Ce qui m'intéresse ce n'est pas la valeur de vérité des propositions indécidables, c'est de supposer qu'elle existe (choix arbitraire mais non nécessairement connu). En gros c'est un peu l'opposé de la logique intuitionniste.

[matthias]

Les modèles deviennent alors les systèmes formels complets, avec un nombre fini ou infini d'axiomes. La fonction de traduction est alors la table de vérité.

Pourquoi complets ?

[Sylvestre]

Il s'ensuit que la seule modification entre une théorie et un modèle (si c'est la table de vérité) est bien la transformation d'un ou plusieurs propositions en axiomes. Qu'est-ce que cela peut être d'autre?

Je suis allé un peu loin, un modèle n'est pas une table de vérité. Mais l'existence d'un modèle prouve l'existence de la table. Un modèle est plus que cela, c'est une construction explicite d'objets ayant les mêmes relations entre eux que les termes de la théorie. C'est la même différence que celle qu'il y a entre les symboles de la théorie et les droites de la géométrie.

[Sylvestre]

Ensuite, pour que ce ne soit pas applicable aux théories, il suffit de ne considérer comme théorie que les systèmes formels avec un nombre fini d'axiome, non?

Je ne comprends ce que tu veux dire. Qu'est-ce qu'un nombre fini d'axiome vient faire là-dedans ?

Sinon, la fonction de traduction ne donne pas la valeur de vérité des propositions, elle dit seulement comment les propositions se transforment dans le passage théorie<->modèle. Mais elle ne donne pas la valeur de vérité, même si les propositions des modèles en ont une.

[invité576543]

Pourquoi complets ?

Si tout est soit vrai, soit son contraire vrai, n'est-ce pas la complétude?

Cordialement,

[matthias]

Un modèle est plus que cela, c'est une construction explicite d'objets ayant les mêmes relations entre eux que les termes de la théorie. C'est la même différence que celle qu'il y a entre les symboles de la théorie et les droites de la géométrie.

D'accord, mais on en revient donc au problème de la validité des modèles. Dans ce cas, calquer un modèle sur un système formel, ça revient un peu à essayer de baser les mathématiques sur une "réalité" physique. Et les entiers naturels portent bien leur nom dans cette logique
Personnellement ça me gêne un peu.

[matthias]

Si tout est soit vrai, soit son contraire vrai, n'est-ce pas la complétude?

Pour avoir la complétude il faut que toutes les propositions soient décidables non ? Même en supposant que toute proposition ait une valeur de vérité, cette valeur ne se démontre pas nécessairement à partir des axiomes. Il ne faut pas que l'ajoût d'une table de vérité change la notion de décidabilité. Sinon on retombe dans le vrai = démontrable.

[invité576543]

C'est la même différence que celle qu'il y a entre les symboles de la théorie et les droites de la géométrie.

Cela ça ne m'éclaire pas, parce que cette différence n'est pas pour moi mathématisable (mais c'est une opinion). C'est une notion de représentation entre un formalisme et une réalité perçue comme ayant un autre statut. C'est de la physique. Les droites de la géométrie, c'est pour moi les droites de l'espace-temps Newtonien par exemple.

Sans cette réalité externe, un système formel n'exprime que des relations internes, et qu'on parle de droite ou de sbritz n'y change rien.

Cordialement,

[invité576543]

Pour avoir la complétude il faut que toutes les propositions soient décidables non ? Même en supposant que toute proposition ait une valeur de vérité, cette valeur ne se démontre pas nécessairement à partir des axiomes. Il ne faut pas que l'ajoût d'une table de vérité change la notion de décidabilité. Sinon on retombe dans le vrai = démontrable.

Si une proposition est affecté de "vrai", et qu'elle n'est pas démontrable à partir des axiomes sauf elle-même le cas échéant, pourquoi n'est-ce pas un axiome?

Soit on la considère comme axiome, et elle est alors démontrable (tout axiome est démontrable, par sa seule invocation). Soit on la considère comme quoi? Une proposition indémontrable mais vrai? L'inclusion de la logique formelle (sinon vrai/faux/cohérence logique n'ont pas de sens) fait que la proposition va intervenir dans des constructions logiques qui ont tout des démonstrations. On va se retrouver avec des propositions non démontrables à partir des axiomes, mais démontrables à partir d'autres propositions de la même farine. Aussi simple de les apeller des axiomes si on veut parler de cohérence, non?

Cordialement,

[invité576543]

Je ne comprends ce que tu veux dire. Qu'est-ce qu'un nombre fini d'axiome vient faire là-dedans ?

Il me sembleque les systèmes formels qui contiennent l'arithmétique, ont un nombre fini d'axiomes, et sont cohérentes sont nécessairement incomplètes, non?

Sinon, la fonction de traduction ne donne pas la valeur de vérité des propositions, elle dit seulement comment les propositions se transforment dans le passage théorie<->modèle. Mais elle ne donne pas la valeur de vérité, même si les propositions des modèles en ont une.

En combinant la function de traduction et la table de vérité du modèle, cela donne bien une table de vérité à la théorie, non? Si la fonction de traduction est bijective, cele semble direct, non? Et si à une proposition de la théorie correspondent deux propositions du modèle de valeur de vérité différentes, j'imagine que le modèle n'est pas cohérent, ???


Cordialement,

[matthias]

Aussi simple de les apeller des axiomes si on veut parler de cohérence, non?

Non, juste pour que l'ajoût de la table de vérité au sytème formel ne change pas toutes les définitions propres au système formel.

Je pars d'un système formel de base. Pas de vrai, pas de faux, mais des propositions décidables (démontrables ou réfutables) et des propositions indécidables.
J'appelle table de vérité une application de l'ensemble des formules du système formel vers {Vrai, Faux}.
Je dis que la table de vérité est cohérente si un nouveau système formel dont les axiomes seraient toutes les propositions vraies de l'ancien système muni de la table de vérité est cohérent (et là je te rejoins).

Mais je distingue les deux systèmes formels. C'est artificiel mais mon but est uniquement d'utiliser le tiers exclu avec le système formel de départ. Et pour cela il suffit qu'il existe au moins une table de vérité cohérente. Et on se retrouve avec des propositions vraies non démontrables qui ne sont pas des axiomes (tout dépend du système formel dans lequel on se place).

Et comme le souligne Sylvestre, mon ensemble système formel + table de vérité n'est pas un modèle à part entière au sens classique du terme (c'est une version plus faible mais qui ne déborde pas du cadre purement mathématique je pense).

[invité576543]

Mais je distingue les deux systèmes formels.

OK, pas de problème. L'utilité m'échappe. Si on accepte (ce qui est usuel il me semble) qu'un axiome soit démontrable, je ne vois aucune différence entre

*la théorie T est associée avec un modèle M ce qui permet de construire une table de vérité cohérente sur T,

et

*la théorie T est incluse dans une théorie T' complète, et que l'on en tire, par équivalence "démontrable dans T'"=vrai (qui est acceptable dans T' puisque complète) une table de vérité cohérente sur T...

Cordialement,

[matthias]

OK, pas de problème. L'utilité m'échappe.

A la base, c'était surtout pour me clarifier les idées

je ne vois aucune différence entre

*la théorie T est associée avec un modèle M ce qui permet de construire une table de vérité cohérente sur T,

et

*la théorie T est incluse dans une théorie T' complète, et que l'on en tire, par équivalence "démontrable dans T'"=vrai (qui est acceptable dans T' puisque complète) une table de vérité cohérente sur T

Ta deuxième version est équivalente à la mienne il me semble (et mieux formulée), mais moins forte que la première où la notion de modèle me chiffone toujours un peu. Savoir que la théorie est incluse dans une théorie complète n'est pas la même chose qu'expliciter cette théorie.

[invité576543]

Savoir que la théorie est incluse dans une théorie complète n'est pas la même chose qu'expliciter cette théorie.

Qu'explicite-t-on dans l'approche des modèles?

En plus une théorie doit avoir une infinité de modèles, en expliciter un serait arbitraire.

Cordialement,