Il est possible de bâtir un logiciel qui permet d'appliquer ces résultats ; je le possède (mais c'est une exclusivité). Je rentre un nombre impair quelconque et le résultat qui s'affiche me dit si ce nombe est premier ou pas ; de plus il m'indique les nombres premiers suivants. Mon PC fonctionne avec un Pentium III et il rame dès qu'on dépasse 10 puissance 10 ; mais je vais m'équiper et j'espère que les limites accessibles vont reculer.
Petite question : c'est une conjoncture ou ca a été déjà démontré ?
Tu ne confondrait pas conjoncture et conjecture par hasard ?Envoyé par jreeman
Ha si, tiens lol.
Bonjour,
Je me permets d'intervenir dans ce fil très intéressant. J'ai réfléchi un peu aux différences entre l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach concernant l'indécidabilité.
On a déjà montré dans l'autre fil concernant Goldbach que si cette conjecture est fausse dans le modèle IN, alors elle est réfutable et donc décidable dans la théorie de Peano. Cela est du au fait qu'un contre-exemple à Goldbach se transpose immédiatement dans la théorie des entiers de Peano. En gros cela est du au fait qu'un nombre entier de IN s'écrit de manière claire dans la théorie. Je vient maintenant à la différence avec Riemann.
Pour Riemann, l'existence d'un contre-exemple (un zéro de zeta qui ne soit pas sur l'axe 1/2), n'implique pas qu'on puisse l'écrire dans la théorie des ensembles. En effet, comme cette théorie ne contient qu'un nombre dénombrable de termes, elles ne peut décrire qu'un nombre dénombrable de nombres complexes et donc il existe des complexes qui ne sont pas descriptible dans la théorie des ensemble. Donc, il se peut très bien que la conjecture de Riemann soit fausse et indécidable.
A bientôt
Bonjour! Après lecture du fil sur Goldbach, je m'interroge: Sylvestre, comment définis-tu "vrai" et "faux"? Je crois me souvenir que
"A démontrable dans une théorie T"= il existe un ensemble de signes (parenthèses, lettres, flèches) et de règles d'inférence permettant de passer des axiomes de la théorie T à l'énoncé A.
"A réfutable dans une théorie T"= il existe un ensemble de signes et de règles d'inférence permettant de passer des axiomes de la théorie T à l'énoncé "non A".
"A indécidable dans une théorie T"= l'ensemble des énoncés que l'on peut construire, à partir des règles d'inférence et des axiomes de la théorie T auxquels on ajoute A, est non-contradictoire (c'est-à-dire qu'il ne contient pas à la fois un énoncé E et son contraire non-E), et l'ensemble des énoncés construits à partir des règles d'inférence et des axiomes de la théorie T auxquels on ajoute non-A n'est pas contradictoire non plus.
Mais je ne me souviens pas qu'il y ait ce que tu appelles "vrai" ou "faux". Même si on parle de modèle plutôt que de théorie, une proposition considérée comme vraie dans un modèle est soit un axiome, soit une proposition qui a été dérivée des axiomes par les règles d'inférence de la théorie. Donc finalement "vrai" serait synonyme de démontrable... et "faux" de réfutable. Il n'y aurait donc rien de tel que "faux et indécidable"...
En gros, ce que je comprends, c'est qu'on peut dire que c'est faux à partir du moment où on peut trouver une théorie faites d'axiomes qui permettent de conclure que c'est faux.Donc finalement "vrai" serait synonyme de démontrable... et "faux" de réfutable
Mais rien n'empeche peut etre aussi de trouver une théorie faites d'axiomes qui permettent de conclure que c'est vrai.
A ce moment moi je crois qu'on dit que c'est vrai peut etre parceque la théorie qui dit que c'est vrai est plus naturelle ou parcequ'elle est plus proche de la théorie de départ, celle dans laquelle on ne peut pas dire si c'est vrai ou faux car c'est indécidable.
Je suis sur la bonne voie ou je me goure compltement ?
Tout ce que tu dis est très juste, sauf le fait que "vrai" est synonyme de démontrable. Comme je l'ai un peu expliqué dans l'autre fil, le "vrai" et le "faux" n'existent qu'au niveau des modèles.
C'est le théorème de complétude de Gödel qui permet de dire que si une proposition est vraie dans tous les modèles d'une théorie alors elle est démontrable dans cette théorie.
De ce théorème, on déduit que si une proposition est indécidable, alors il existe un modèle dans lequel elle est vraie et un autre modèle dans lequel elle est fausse. J'avais donné comme exemple la théorie d'Euclide sans l'axiome des parallèle. Dans cette théorie la proposition donnée par l'axiome des parallèle est vraie dans le modèle du plan Euclidien, mais fausse sur le modèle de la sphère de Riemann.
Dans un modèle une proposition peut être vraie, sans qu'il existe la moindre démonstration dans la théorie correspondante. C'est une notion première. Pour aller plus loin, il faut aller dans une théorie plus puissante qui puisse parler du modèle lui-même (la théorie des ensemble pour mon exemple de la géométrie )pour prouver la proposition du modèle.
Donc si A est indécidable dans T, alors A est vraie dans (T+A) et fausse dans (T+non-A).De ce théorème, on déduit que si une proposition est indécidable, alors il existe un modèle dans lequel elle est vraie et un autre modèle dans lequel elle est fausse. J'avais donné comme exemple la théorie d'Euclide sans l'axiome des parallèle. Dans cette théorie la proposition donnée par l'axiome des parallèle est vraie dans le modèle du plan Euclidien, mais fausse sur le modèle de la sphère de Riemann.
Mais ca veut donc dire aussi que A est démontrable (de façon triviale!) dans (T+A), et que A est réfutable dans (T+non-A).
Donc il semble qu'il n'y a pas de proposition qui soit vraie dans T tout en étant indécidable dans T. Ou alors l'expression "vrai dans T" n'a pas de sens, auquel cas toute proposition est vraie (puisqu'il suffit de la choisir comme axiome!) est la notion de "vrai" n'a aucun intéret...
Le notion de vrai n'a aucun intérêt.
Seul existe "A démontré dans T".
La logique formelle n'est pas toujours trivialement applicable, parce qu'elle contient le tiers exclus. Rephrasé: le mot "vrai" n'a de sens que dans le système formel de la logique formelle, et celle-ci inclut comme vrai "("A vrai" ou "non-A vrai) - le tiers-exclus.
Le théorème de Gödel peut être compris comme disant qu'il n'existe pas nécessairement dans un système formel une notion qui ait les propriétés de "vrai" du système de la logique formel.
La notion "A démontré dans T", qui est ce qu'intuitivement on voudrait vouloir dire "vrai" avec son alternative "non-A démontré dans T" comme "faux" ne respectent pas nécessairement le tiers exclus, à savoir ("A démontré dans T" ou "non-A démontré dans T") peut être fausse dans la méta-théorie dans laquelle cela a un sens (celle qui inclut la propriété "démontré dans").
Et on a rien trouvé qui respecte systématiquement le tiers exclus. Donc la notion de "vrai" est limitée aux systèmes formels complets, et chercher à l'étendre au-delà n'a aucun intérêt.
Cordialement,
Juste pour compléter les définitions :
"faux" signifie "non vrai", donc tout énoncé est soit vrai, soit faux.
"indécidable" signifie "non prouvable et non réfutable" dans un système donné, ceci n'est pas en rapport avec la véracité de l'énoncé.
En particulier, non prouvable n'implique pas faux et non réfutable n'implique pas vrai. Par contre évidemment, prouvable => vrai et réfutable => faux
J'ajoute un point, qui peut aider à comprendre pourquoi on utilise la notion de "vrai".
La notion de "vrai" dans un système cohérent et non complet peut être utilisée pour des sous-ensembles bien caractérisés de proposition, sosu-ensemble éventuellement infini.
Par exemple en arithmétique, l'ensemble des propositions "n=m" avec n et m deux entiers ne contient que des propositions décidables, et on peut par abus de langage appeler cela "vrai" ou "faux".
Mais la notion n'est pa généralisable à toute proposition du système formel de l'arithmétique.
Ce qui nous trouble, nous humains, c'est l'existence de telles sous-ensembles de propositions vs. la non généralisation.
Cordialement,
La notion de vérité n'a pas de sens dans une théorie, elle n'en a que dans un modèle. Dans une théorie on ne peut faire que des démonstrations, c'est pourquoi seule la notion de démontrabilité existe. Dans un modèle, il y a des fait :
P. ex, dans le modèle du plan euclidien, la proposition disant qu'à une droite, il n'existe qu'une seule parallèle est vraie, mais elle n'est pas démontrable avec les quatre premiers axiomes d'Euclide. (je sais que je me répète).
Ce n'est pas parce que la notion n'a pas de sens dans une théorie que toute proposition est vraie, cela n'a pas de sens, c'est tout.
Pas d'accord, parce que cela au mieux définit vrai et faux. Pour faire mieux, il faut définir vrai/faux indépendamment de prouvable/réfutable. Comment faire?
Cordialement,
Je ne suis pas d'accord, cette notion a un énorme intérêt, mais pas dans les théories, elle en a dans les modèles
Quand j'ai invoqué le théorème de Gödel, je voulais parler du théorème de complétude et non de celui d'incomplétude.Le théorème de Gödel peut être compris comme disant qu'il n'existe pas nécessairement dans un système formel une notion qui ait les propriétés de "vrai" du système de la logique formel.
La notion de vraie n'a d'intérêt que dans le modèle, mais pas dans les théories, je suis d'accordEt on a rien trouvé qui respecte systématiquement le tiers exclus. Donc la notion de "vrai" est limitée aux systèmes formels complets, et chercher à l'étendre au-delà n'a aucun intérêt.
Ca n'est pas une conjecture ; c'est une méthode de détermination de la suite des nombres premiers ; elle permet de déterminer, dans une certaine mesure, les nombres premiers qui suivent un nombre impair quelconque dans IN. La conjecture qui semble s'imposer c'est qu'entre un nombre : p , et le nombre : p plus 3 plus racine carrée de p, il a toujours au moins un nombre premier. Ceci est plus puissant que la conjecture de Bertrand.
L'auteur de ces découvertes est l'auteur de ces lignes.
Je ne parlais que de système formel. Sorti des systèmes formel, je pense qu'on parle dans le vide, mais ce n'est peut-être qu'une manifestation de mes limitations.
Peux-tu préciser ce que tu entends par "théorie" et "modèle" et la relation exacte de ces deux termes avec "système formel"? Ou pointer sur un poste qui clarifie?
Cordialement,
Je vais essayer de clarifier, mais pour être vraiment précis, il faut lire un cours de théorie des modèles. Je n'ai pas de lien à ce sujet en ce moment,mais je vais essayer de chercher un peu.
Bon, une théorie est formé d'un ensemble dénombrable de variables, de symboles et d'un nombre fini (voire dénombrable d'axiomes) et de règles de constructions et d'inférences.
Dans une théorie, on a la notion de terme et de proposition. Une variable est un terme par exemple.
Pour la théorie des entiers de Peano, les variables sont {x1,x2,...}, et il y a les symboles {0,s,<,=,*,+,(,)}.
Un exemple de terme est 0 ou ss0 ou sss0 ou (ss0+s0). Mais 0s ou (s( n'en sont pas. Il doit y avoir un algorithme permettant de dire si une expression est un terme ou non.
Le "s" représente la fonction successeur.
Une proposition est construite à partir des termes. Il doit y avoir des règles de constructions des propositions. Les règles d'inférences permettent d'aligner des propositions qui s'enchaînent pour pouvoir faire des démonstration.
Un modèle est un ensemble, plus une fonction de traduction des propositions et des termes de la théorie dans l'ensemble du modèle.
Par exemple pour IN, la traduction du 0 de la théorie est le 0 de IN.
La traduction de ss0 est 2,...
La traduction doit être aussi capable de traduire des propositions.
Dans un modèle chaque proposition est soit vraie soit fausse, grâce au tiers exclus.
Par exemple, 2<3 est vraie. Sa traduction dans la théorie est ss0<sss0 qui est prouvable par les axiomes. Cela veut dire que dans tout modèle des entiers, on a cette proposition. Mais lorsque l'on a une proposition indécidable, comme par exemple, "toutes les suites d'entiers de Goodstein sont finies", cela n'est pas le cas. Cette proposition n'est pas prouvable dans la théorie, néanmoins, sa traduction dans IN est vraie (cela se prouve en utilisant la théorie plus puissante qu'est la théorie des ensembles). Le fait qu'elle soit indécidable veut dire (par le théorème de complétude) qu'il existe un modèle des entiers tel qu'elle est fausse. Evidemment ce modèle est un modèle non standard des entiers.
Voilà, j'espère avoir éclairci un peu les choses.
Petite précision : "système formel" et "théorie", sont des mots désignant la même notions. Je peux me tromper, mais il me semble que c'est le cas.
il existe un modèle des entiers tel qu'elle est fausse
je ne vois pas trop comment construire un modèle d'entiers différent de IN, tout en gardant donc {0,s,<,=,*,+,(,)}.
Tu peux regarder du côté de l'analyse non standard
Ah oui, je n'avais pas pensé à ça. Mais en admettant qu'il existe un zéro en dehors de l'axe 1/2, il pourrait aussi exister des moyens de le prouver sans décrire ce complexe (montrer qu'il existe nécessairement un zéro dans une région donnée du plan par exemple).
Mais effectivement la démonstration initiale est au mieux icomplète.
Ta description d'une théorie est ce que j'ai appris sous le nom de système formel.
La notion de modèle reste obscure pour moi. Je la vois comme une sorte de classe d'équivalence de systèmes formels.
Mais ce qui m'échappe alors c'est ce qui empêche une proposition d'un modèle d'être démontrable dans une théorie, et sa négation démontrable dans une autre.
Cordialement,
Rien ne l'empêche. Je ne comprends pas ta question.
Peut-être que ce qui te manque est le fait que la théorie et le modèle doivent être relié par la fonction de traduction dont j'ai parlé avant. C'est ce qui fait que l'on ne peut pas changer de théorie n'importe quand et dire que le modèle qu'on a d'une théorie un aussi un modèle de l'autre théorie.
L'exemple classique (qui me gêne un peu)
Si on prend les 4 premiers axiomes d'Euclide, on peut calquer plusieurs modèles sur ce système formel :
- plan euclidien
- modèle sphérique où les droites sont les grands cercles inscrit sur une sphère
- ...
Ce qui permet de montrer que l'axiome des parallèles n'est pas décidable à partir des 4 premiers.
Ce que je trouve bizarre néanmoins avec cette vision des modèles est qu'ils semblent eux aussi basés sur une théorie.
Et pourquoi pas ? On pourrait très bien assigner une valeur de vérité à toute proposition (de manière cohérente, vrai pour les propositions démontrables, faux pour les réfutables, etc) et considérer que certaines valeurs nous sont inaccessibles (les indécidables) bien qu'elles doivent aussi être cohérentes entre elles. Ca peut paraître totalement artificiel et inutile, mais ça permet d'utiliser le tiers-exclu, les démonstrations par l'absurde etc. La valeur des propositions indécidables n'aurait aucune importance en soi, ce serait juste un artifice qui n'apporte aucune incohérence.
Ou alors on pourrait justement appeler modèle toute table de vérité cohérente avec la théorie ?
Je ne doute pas que Sylvestre mettra un peu d'ordre dans tout ça, c'est un peu confus ...
Comment est alors attribuée la valeur vrai/faux ? Quelle relation entre vrai/faux et démontrable/négation démontrable dans une théorie associée?
Je vois bien la notion de traduction, mais l'information manquante est si cette traduction peut être injective ou bijective. (Surjective stricte serait étonnant, mais ?)Peut-être que ce qui te manque est le fait que la théorie et le modèle doivent être relié par la fonction de traduction dont j'ai parlé avant. C'est ce qui fait que l'on ne peut pas changer de théorie n'importe quand et dire que le modèle qu'on a d'une théorie un aussi un modèle de l'autre théorie.
Cordialement,
Avec les quatre premiers "Postulats" d'Euclide on obtient ce que certains appellent la "géométrie absolue" (voir Fundations of geometry de Borzuk et Smielev) le distingo entre euclidien et non euclidien n'intervient qu'avec l'hypothèse relative au parallélisme c'est à dire le cinquième postulat ; la différence entre les modèles suit ce processus.
Ca c'est exactement la notion de "sens", de "sémantique" en math que j'essayais sans réussite à expliquer à actae sur un autre fil...
Pour moi, un système formel n'a pas de signification en soi. Le système basé sur les 4 premiers axiomes d'Euclide est formellement équivalent au sous-système formel correspondant du système formel de la géométrie du plan euclidien, ibidem pour la sphère S2, c'est tout.
Je ne vois ici qu'une relation structurelle entre systèmes formels... Qu'on "voit" les sous-systèmes formels comme différents, c'est faire de la physique, pas des maths, c'est-à-dire les plaquer sur ce qu'on perçoit comme réalité.
Je reste sur ma faim...
Cordialement,
J'avais peur que quelqu'un voie cela, car j'ai déjà eu plusieurs discussion enflammées avec une collègue à ce sujet et cela a duré très longtemps avant que l'on comprenne un peu le problème. Il faudrait que l'on ouvre un autre fil sur ce sujet, car je crois que c'est vraiment une question importante qui touche aux fondements. En fait, je crois qu'il faut qu'en maths, on arrête de se poser des questions à partir d'un moment, car on ne peut pas tout prouver (en gros, au début, il y a toujours des présupposés). Ce n'est pas de la philo, quoi...
Quelle est la valeur de vérité de la propositionCa peut paraître totalement artificiel et inutile, mais ça permet d'utiliser le tiers-exclu,si A peut-être ni vraie, ni faux ?
J'ai l'impression que ce que tu fais reviens à remplacer le mot "prouvable" par "vrai".
Oui, dans ce cas, prouver que la table de vérité est cohérente consisterait à construire un modèle de la théorie respectant cette table.
