Paradoxe et énoncé indécidable

[karlp]

Bonjour à tous

Je voudrais savoir s'il est sensé de considérer que les paradoxes logiques sont une sorte d'équivalent de certains énoncés indécidables, mais exprimés dans un langage qui confondrait le niveau mathématique et le niveau métamathématique ?

(je prie d'avance les logiciens de m'excuser si cette question leur fait dresser les cheveux sur la tête; il se trouve que j'ai rencontré ce propos à plusieurs reprises, venant de plumes qui ne sont pas des plus indignes; mais j'ai peur de me laisser abuser)

Cordialement
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[Matmat]

Bonjour à tous

Je voudrais savoir s'il est sensé de considérer que les paradoxes logiques sont une sorte d'équivalent de certains énoncés indécidables, mais exprimés dans un langage qui confondrait le niveau mathématique et le niveau métamathématique ?

(je prie d'avance les logiciens de m'excuser si cette question leur fait dresser les cheveux sur la tête; il se trouve que j'ai rencontré ce propos à plusieurs reprises, venant de plumes qui ne sont pas des plus indignes; mais j'ai peur de me laisser abuser)

Cordialement

si A est un paradoxe alors c'est qu'on arrive à démontrer (sans doute en confondant deux niveaux de langages mais peut être pas nécessairement) "A et nonA" , mais si A est indécidable alors nonA est indécidable aussi et donc "A et nonA" est indécidable lui aussi et donc il n'y a pas possibilité d'arriver à l'auto-contradiction qui définie le paradoxe en partant justement d'un énoncé indécidable.

Inversement , si A est indécidable (pour une théorie) alors il doit être, par définition, possible de l'inclure dans la théorie sans que ca implique de contradiction, or "A et nonA" est une contradiction , donc si A est un paradoxe il ne peut par conséquent pas être indécidable (pour aucune théorie) .

Je ne sais pas ce que vous entendez par "une sorte d'équivalent de certains énoncés indécidables" mais pour moi les paradoxes ne doivent pas être assimilés aux énoncés indécidables.

[karlp]

Bonsoir et merci pour votre réponse.

Je suis d'accord avec vous: on ne peut pas assimiler paradoxe et énoncé indécidable :il serait dès lors inutile de les distinguer et d'user d'un vocabulaire discriminatif.

Je crois que ma question est encore trop vaguement posée, en raison de mes lacunes.

J'observe que de nombreux textes (entre autres de celui de D. Andler dans "universalis") évoquent le paradoxe d'Epiménide lorsqu'ils introduisent les théorèmes d'incomplétude.
Je me demandais alors s'il était correct de dire que le paradoxe d'Epiménide n'est un paradoxe que parce que n'y sont pas distingués les niveaux correspondant à la distinction entre énoncé mathématique et énoncé métamathématique; et qu'en introduisant cette distinction, ce paradoxe disparaissait en cédant la place à un énoncé indécidable.

(Je conviens que mon expression est très confuse et un peu trop "poétique")

[Matmat]

J'observe que de nombreux textes (entre autres de celui de D. Andler dans "universalis") évoquent le paradoxe d'Epiménide lorsqu'ils introduisent les théorèmes d'incomplétude.

Godel en parle lui-même en introduction en tant que source d'inspiration .

Je me demandais alors s'il était correct de dire que le paradoxe d'Epiménide n'est un paradoxe que parce que n'y sont pas distingués les niveaux correspondant à la distinction entre énoncé mathématique et énoncé métamathématique;

Qu'il y ait deux niveaux de langage dans un énoncé c'est une chose, qu'il y ait contradiction en est une autre, l'un n'implique pas l'autre.... "je dis la vérité quand je dis que cette phrase est vrai" n'est pas un paradoxe, et c'est en fait la contradiction qui engendre le paradoxe et non le mélange des niveaux de langages.

et qu'en introduisant cette distinction, ce paradoxe disparaissait en cédant la place à un énoncé indécidable.

Pourquoi "en cédant la place à un énoncé indécidable" ? Et pourquoi nier le fait qu'il y ait contradiction alors qu'elle existe ? Il y a une autre approche qui consiste à considérer les paradoxes comme des non-sens ... car les énoncés indécidables peuvent avoir un sens eux, d'ailleurs celui du théorème de Godel a un sens et c'est parce qu'il a un sens qu'il est vrai , celui du thérème de Godel n'est pas un paradoxe ! Il est vrai et indécidable, il n'y a pas contradiction comme dans le paradoxe du menteur.

Dans un paradoxe on peut DEMONTRER l'énoncé et sa négation tandis que que dans un énoncé indécidable on ne peut PAS DEMONTRER l'énoncé ni sa négation .

[A voir en vidéo sur Futura]

[karlp]

Bonjour à tous

Qu'il y ait deux niveaux de langage dans un énoncé c'est une chose, qu'il y ait contradiction en est une autre, l'un n'implique pas l'autre.... "je dis la vérité quand je dis que cette phrase est vrai" n'est pas un paradoxe, et c'est en fait la contradiction qui engendre le paradoxe et non le mélange des niveaux de langages.
.

Mais n'est -il pas vrai que si on distingue les niveaux de langage il n'y a plus contradiction ?

Pourquoi "en cédant la place à un énoncé indécidable" ? Et pourquoi nier le fait qu'il y ait contradiction alors qu'elle existe ?

Je crois que je me suis mal fait comprendre: je ne nie pas la contradiction dans le paradoxe d'Epiménide, mais je pense que la contradiction "dépend" de la possibilité (humaine) de confondre les deux niveaux.

Il y a une autre approche qui consiste à considérer les paradoxes comme des non-sens ...

Je ne partage pas cet a priori

car les énoncés indécidables peuvent avoir un sens eux, d'ailleurs celui du théorème de Godel a un sens et c'est parce qu'il a un sens qu'il est vrai , celui du thérème de Godel n'est pas un paradoxe ! Il est vrai et indécidable, il n'y a pas contradiction comme dans le paradoxe du menteur.

Je sais bien que ce théorème n'est pas un paradoxe logique.

Quand vous dîtes :

Il est vrai et indécidable

Je crois que c'est contradictoire. Le théorème d'indécidabilité est lui même décidable, puisque c'est un théorème. Il est vrai parce qu'il est démontré.

Ce qui est indécidable ne peut pas être dit vrai au sens mathématique.

Dans un paradoxe on peut DEMONTRER l'énoncé et sa négation tandis que que dans un énoncé indécidable on ne peut PAS DEMONTRER l'énoncé ni sa négation

Nous sommes parfaitement d'accord là dessus. J'ai encore mal formulé ma question.

Cordialement

[invite10421055]

Bonjour,
Dans la phrase :

Faut-il tolérer l'intolérance ?

Le paradoxe résulte de la juxtaposition de 2 niveaux logiques différents.
Le premier "tolérer" se réfère à un méta-niveau par rapport au second mot "Intolérance".
L'effet est provoqué, par l'homonymie, qui s'applique à des contextes différents.
Même effet pour une phrase du type :
"Il est interdit d’interdire".

"Interdire d'interdire",
n'occupe pas le même niveau logique, que le fait d'"interdire de fumer" par exemple.

Cordialement,

[invitebd2b1648]

àmha il y a contradiction entre la logique de double négation, l'objet proprement dit et la mise en abimes !??

[Matmat]

Je sais bien que ce théorème n'est pas un paradoxe logique.

Je sais que vous le savez mais je ne vous disais pas cela, je ne parlais pas du théorème lui même mais de l'énoncé vrai et indécidable utilisé dans la preuve du théorème.

Quand vous dîtes :

Je crois que c'est contradictoire. Le théorème d'indécidabilité est lui même décidable, puisque c'est un théorème. Il est vrai parce qu'il est démontré.

même remarque, je parlais de l'énoncé vrai et indécidable utilisé dans la preuve du théorème.

[Matmat]

Mais n'est -il pas vrai que si on distingue les niveaux de langage il n'y a plus contradiction ?

C'est comme si vous disiez que si on s'interdisait de regarder les couleurs des objets alors ils ne pourraient plus être de couleurs différentes

Une contradiction ne se vérifie qu'avec une démonstration aboutissant à une négation d'un énoncé de la même théorie , il n'y a donc pas d'autre manière de la vérifier qu'en considérant les énoncés suspectés d'être contradictoire au même niveau de langage... par conséquent en interdisant de considérer des énoncés au même niveaux de langage vous interdisez seulement la vérification de la contradiction mais vous n'éliminez pas la contradiction elle même, elle existe chaque fois qu'on se place dans les conditions requises pour la vérifier, donc elle existe.

[karlp]

1) C'est comme si vous disiez que si on s'interdisait de regarder les couleurs des objets alors ils ne pourraient plus être de couleurs différentes

Une contradiction ne se vérifie qu'avec une démonstration aboutissant à une négation d'un énoncé de la même théorie , il n'y a donc pas d'autre manière de la vérifier qu'en considérant les énoncés suspectés d'être contradictoire au même niveau de langage... 2) par conséquent en interdisant de considérer des énoncés au même niveaux de langage vous interdisez seulement la vérification de la contradiction mais vous n'éliminez pas la contradiction elle même, elle existe chaque fois qu'on se place dans les conditions requises pour la vérifier, donc elle existe.

Bonsoir
1) Je ne comprends pas bien votre analogie (je la comprends bien mais je ne la trouve pas appropriée).

2) Je crois que tout va dépendre de la légitimité de la distinction des niveaux. Si elle n'est pas légitime il y a contradiction irréductible. Si elle est légitime alors le paradoxe n'était qu'un effet de cette confusion des niveaux.

Bonne soirée à tous.

[karlp]

même remarque, je parlais de l'énoncé vrai et indécidable utilisé dans la preuve du théorème.

Comment pouvez vous dire que l'énoncé est vrai s'il est indécidable (puisqu'on ne peut le démontrer, pas plus que sa négation ?) ?

[Médiat]

Comment pouvez vous dire que l'énoncé est vrai s'il est indécidable (puisqu'on ne peut le démontrer, pas plus que sa négation ?) ?

Je suppose que Matmat est platonicien (comme si je ne le savais pas ), et que pour lui "vrai" veut dire "vrai dans un certain modèle que je privilégie par rapport aux autres, pour telle ou telle raison".

Il va de soi qu'en tant que formaliste, "vrai" ne peut vouloir dire que "vrai dans tel modèle" à la condition obligatoire que le modèle soit cité, ou "vrai dans tous les modèles", ce qui est donc la même chose que démontrable (théorème de complétude de Gödel).

Je ré-enfourche donc mon vieux dada : ce vocabulaire ("vrai" utilisé autrement que dans le paragraphe précédent) ne peut que générer des confusions. En particulier la phrase (lue de nombreuses fois, en particulier chez Girard) "vraie et indécidable" est un oxymore (qui en plus, mélange syntaxique et sémantique), pour moi, inacceptable, dans la mesure ou la précision du modèle n'impose en rien à un platonicien de renoncer à sa philosophie, et n'impose à personne de privilégier un modèle plutôt qu'un autre.

[karlp]

Je suppose que Matmat est platonicien (comme si je ne le savais pas ), et que pour lui "vrai" veut dire "vrai dans un certain modèle que je privilégie par rapport aux autres, pour telle ou telle raison".

Il va de soi qu'en tant que formaliste, "vrai" ne peut vouloir dire que "vrai dans tel modèle" à la condition obligatoire que le modèle soit cité, ou "vrai dans tous les modèles", ce qui est donc la même chose que démontrable (théorème de complétude de Gödel).

Je ré-enfourche donc mon vieux dada : ce vocabulaire ("vrai" utilisé autrement que dans le paragraphe précédent) ne peut que générer des confusions. En particulier la phrase (lue de nombreuses fois, en particulier chez Girard) "vraie et indécidable" est un oxymore (qui en plus, mélange syntaxique et sémantique), pour moi, inacceptable, dans la mesure ou la précision du modèle n'impose en rien à un platonicien de renoncer à sa philosophie, et n'impose à personne de privilégier un modèle plutôt qu'un autre.

Bonjour Médiat

C'est en effet à vous que je dois de savoir qu'il n'est pas rigoureux du tout d'affirmer que ce qui est indécidable soit vrai.Je vous en sais gré, j'aurai pu trainer cette illusion jusqu'à la tombe.

Bonjour Matmat

Je me demande si ce n'est pas en raison de ce platonisme (tout à fait respectable au demeurant) que vous voulez faire du paradoxe un "absolu" c'est à dire un paradoxe en soi et si , par voie de conséquence, vous vous focalisez dans mes questions sur une prétendue volonté de ma part de "supprimer" le paradoxe en cause. Pour préciser ma position, je ne cherche pas à "éliminer" le paradoxe, mais à déterminer sous quelles conditions il peut y avoir paradoxe.

Enfin je me demande si l'usage platonicien du mot "vrai" appliqué ici à un énoncé indécidable, ne procède pas justement d'une confusion de niveaux.

Si un énoncé indémontrable ne peut être dit, pour cette raison, vrai au sens logique du terme (puisqu'en dehors de toute précision "vrai" veut dire "vrai dans tout modèle"), est-ce que vous n'employez pas le mot "vrai" dans un sens extérieur à la théorie ? c'est à dire que cela signifierait qu'en dépit de son indécidabilité, l'esprit humain jugerait (en dehors de tout critère formel) l'énoncé comme étant "vrai" (dans un sens qui reste à préciser).
N'y aurait -il pas là aussi confusion entre deux niveaux ? (le niveau logique et le niveau "métaphysique" ?)

- je reste avec ma question initiale sur les bras: peut-être est-ce parce que cette question est "philosophique" ?-



En vous remerciant tous les deux pour l'aide que vous m'apportez dans mes réflexions.

[Matmat]

Dans le paradoxe d'Epiménide, la vérité de "je mens" est d'abord sémantique (autrement dit on considère que "je mens" est vraie si et seulement si en réalité je mens ), c'est à dire indépendamment de tout démonstration, n'est ce pas ? Donc Epiménide pourrait continuer cette distinction tout au long de son "raisonnement" mais il ne l'a pas fait.

Mon idée était de nier que l'aspect paradoxal état directement lié au mélange de niveaux de langage, et la discussion a tournée,comme si souvent, sur le théorème d'incomplétude ou plutôt sa preuve qui utilise et énoncé (E) disant "L'énoncé E est indémontrable" , si vrai alors indécidable et n'ayant rien de contradictoire contrairement à l'énoncé d'Epiménide qui lui est contradictoire... donc mon propos est de dire, à travers cet exemple, qu'il n'y pas de problème directement lié au mélange de plusieurs niveaux de langage (sinon d'ailleurs il n'y aurait même pas de métamathématiques possible) quand la vérité du niveau méta est distinguée de la vérité du niveau objet, chose que n'a pas fait Epiménide mais qu'a fait Godel et cela autorise la vérité méta d'un énoncé indécidable.

L'autre idée que j'ai voulu exprimer était la distinction entre indécidabilité et contradiction (en réponse à la première question de ce fil) , l'indécidabilité c'est quand ni l'énoncé ni la négation de l'énoncé n'est démontrable , la contradiction c'est quand les deux sont démontrable.

[Xoxopixo]

Dans un paradoxe on peut DEMONTRER l'énoncé et sa négation tandis que que dans un énoncé indécidable on ne peut PAS DEMONTRER l'énoncé ni sa négation .

Oui,
et c'est la beauté de la chose je dirais.

est-ce que vous n'employez pas le mot "vrai" dans un sens extérieur à la théorie ? c'est à dire que cela signifierait qu'en dépit de son indécidabilité, l'esprit humain jugerait (en dehors de tout critère formel) l'énoncé comme étant "vrai" (dans un sens qui reste à préciser).
N'y aurait -il pas là aussi confusion entre deux niveaux ? (le niveau logique et le niveau "métaphysique" ?)

J'ai l'impression et j'aurais aimé des avis à ce sujet, que ce sont les inverses chacun l'un de l'autre d'un point de vue de l'operateur.

Peut ..... (Oui) Démontrer Oui et Non
Peut Pas (Non) Démontrer Non ou Oui

Ces deux formules sont equivalentes l'une de l'autre.
En y ajoutant l'action Démontrer comme operateur.
"Pouvoir Démontrer" etant l'Action.

On opere un NOT=NON sur le resultat de l'Action selon que l'action est OUI ou NON.
Oui ET Non etant l'inverse de Oui OU Non
1 ET 0 etant l'inverse de 0 OU 1
Le résultat de chaque Assertion est l'echec de la demonstration. Malgres l'action inversée.
Or il n'y a que deux actions possibles.
On peut Démontrer ou On ne peut pas Démontrer.
Et c'est la question que l'on se pose.
Peut-ont démontrer ou non ?

Peut-on en déduire que si on a un paradoxe ainsi qu'un indecidable pour des OUI et NON équivalents dans chaque assertion, que OUI et NON sont démontrés indémontrables ?
Puisque le résultat d'une assertion est OUI et l'autre OUI

Oui on peut
Oui on ne peut pas
Or c'est incoherent, donc non logique.

Non pas indécidable ou paradoxale, incoherent du point de vue de la logique.
Or ce ne peut pas être la logique qui est en cause.
Ce ne peut donc être que les objets sur lequels on opere la logique.

Donc que l'objet sur lequel on opere le OUI ou le NON sont des incomparables par nature ?
En toute logique, si on ne peut plus comparer des "objets" comment même utiliser la logique pour les démontrer.

Si quelqu'un pouvais essayer de me dire si cette formulation parait cohérente, ce serait instructif. Merci.