Hypothèse de Riemann

[invite4793db90]

Bonjour,

saviez-vous que Louis de Branges a annoncé en juin avoir démontré l'hypothèse de Riemann?
La (tentative de) preuve est disponible ici.

Personnellement, je l'ai appris il y a deux jours. J'aurais souhaité connaître votre sentiment sur la question, et aussi ce que vous pensez des prix qui sont censés émuler la recherche en mathématiques.

Rappelons au passage que Louis de Branges a démontré en 1984 la conjecture de Bieberbach (bas de la page, note c.), mais qu'il a perdu de la crédibilité auprès de la communauté mathématique (voir là ).

Enfin voilà, j'attend vos réactions sur un sujet pour le moins digne d'intérêt.

Cordialement.
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[invitea8961440]

Moi,je pense sincérement qu'il est trop tot pour démontrer l'hypothese de Riemann,meme si on a pu démontrer la conjecture de Bieberbach et je suis fort douteux de la véracité de la preuve,revoyons nos arguments et rendez-vous dans quelques dizaines d'années !

[invite4793db90]

Salut,

initialement, je voulais proposer un sondage à ce sujet, mais je crois qu'on va abandonner...

ulrich richarovitch, pourquoi penses-tu qu'il est trop tôt? Si tu pouvais apporter quelques éléments pour argumenter ta position, je t'en serais vraiment gré, d'autant que je ne sais pas trop quelles sont les pistes envisagées aujourd'hui (s'il y en a) pour tenter une démonstration.

A propos de la preuve de De Branges, j'avoue que je l'ai survolée et que mes compétences ne me permettent pas de l'apprécier. De plus, elle est quand même assez longue (123 pages!).

[invite8f53295a]

Salut,

La preuve, c'est le fichier qui s'appelle Riemann zeta functions ? Je ne l'ai que survolé, mais je trouve déjà étrange qu'il ne soit mentionné ni dans le titre ni dans la démonstration qu'il s'agit d'une preuve de la conjecture de Riemann, et un peu dommage que l'auteur ne résume pas brièvement quelle est l'idée de la preuve.
Sinon je ne sais pas ce que tu en penses, mais je trouve assez étrange un tel rejet de la part des mathématiciens... Il serait assez intéressant d'avoir une autre version des faits, même si je ne prétend rien réfuter...

Je ne suis pas sûr qu'il soit trop tôt pour démontrer la conjecture de Riemann, je ne vois pas pourquoi en tous cas. C'est un problème intéressant, car on peut quand même en avoir une approche assez simple (même si elle ne mène à rien). Par exemple si on pouvait montrer que les séries de terme général mu(n)/n^s sont convergentes pour s > 1/2, alors la conjecture de Riemann serait vraie (mu est la fonction de Moebius). Je ne sais pas du tout ce qu'il en est de ces convergences, a-t-on montré que ces séries divergent ? (je ne pense pas que ça contrederait Riemann...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6d8e4836]

Bonjour,

Si je puis me permettre, savoir si je pense que Untel vient ou non de démontrer l'hypothèse de Riemann ne présente pas d'intérêt.
Ou il l'a fait ou bien il ne l'a pas fait, et seules des vérifications poussées de ses travaux le prouveront.
On pourrait poser la question: à quelle distance pensez vous que le Soleil soit de la Terre? Soit l'on sait (environ 8 minutes lumière) soit l'on ne sait pas. Si une majorité de personnes disent 20000 km, par exemple, qu'est ce que cela prouve?
Mon message n'est pas du tout polémique. C'est un problème de logique.
Il est différent de se poser la question "Fermat a t'il démontré son théorème?", car on peut comparer les mathématiques dont disposait Fermat aux outils utilisés par Wiles (celui qui lira couramment le livre de Helgouarch est invité à faire un séminaire dans mon labo ou à côté!). Quand on voit la somme de travail et la complexité mise en oeuvre, on peut douter que Fermat ait réussi...mais on ne pourra jamais rien prouver quand même.

Une remarque: ce n'est pas parce que le titre n'est pas explicite que le résultat n'y est pas. Quand Wiles a démontré Fermat, il n'a pas dit que son exposé portait là dessus. Ce n'est qu'à la fin qu'il a dit...et ceci démontre Fermat. J'ai souvenir d'un séminaire sur la géométrie non commutative, où, sur la fin, l'orateur a réveillé brutalement l'auditoire en disant "ben...on pourrait par exemple prédire la masse du boson de Higgs". Une bagatelle.

Amicalement

JM

[inviteca3a9be7]

Bonjour,


Des "preuves" de Riemann il y en a tous les mois sur arXiv.org !

Une des plus convaincantes est celle-là : http://www.arxiv.org/pdf/math.GM/0307136

Voir aussi http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm

[invite6d8e4836]

Bonjour

Dans l'article indiqué, l'auteur indique des exemples aux referrees ("dear referee..."). Il s'agit donc bien d'un article soumis à un comité de lecture, pas d'un article publié après validation par un tel comité. Pour moi, ce n'est donc pas une preuve validée (je ne dis donc pas qu'il est faux, ni qu'il est vrai).
Cependant, le raisonnement que je tiens n'est pas parfait: David Ruelle a été rejeté par plusieurs revues lors de la publication de son article fondateur sur le chaos...et c'etait juste!
Mais attendons quand même la vérification des articles.

Amicalement

JM

[leg]

bonjour martini.
Trouvé sur Internet :

["Il a été montré que la conjecture de Riemann est équivalente à la conjecture suivante:
M(n) ne croît pas plus vite que que k.N1/2+e
avec e arbitraire, mais plus grand que 0

Amusant!
Encore un autre pont entre les nombres:
nombres premiers et ceux qui ont des diviseurs répétés


La valeur de m (n)
est assez aléatoire
Cependant, quelle est la probabilité que n n'ait pas de facteurs répétés?
Il ne doit pas être multiple de 4 , de 9, de 25… de p²
Soit pas carré d'un premier

La probabilité que n ne soit pas un multiple de 4 est 3/4
Pas un multiple de 9 est 8/9 Pas un multiple de 25 est 24/25
La valeur de m (n) est assez aléatoire "):
CONJECTURE DE RIEMANN

Conjecture de Riemann

(1859)

Tous les " zéros " non triviaux sont situé sur la droite R(s) = 1/2

ou dit autrement,

la partie réelle est égale à 1/2



Les " zéros " triviaux de cette fonction complexe sont -2, -4, -6, ...



Représentation





Les solution sont toutes, sauf solutions triviales, dans la zone colorée (bande 0, 1)

Riemann dit qu'elles sont même, toutes sur la droite a = 1/2



Ce qu'on sait aujourd'hui:

- les zéros sont tous dans une bande critique: 0< Z < 1

- les zéros sont symétriques par rapport à la droite R(s) = 1/2

- Il existe une infinité de zéros sur cette droite (prouvé par G.H. Hardy)

- 1/3 au moins des zéros sont sur cette droite

- les 1 500 000 000 premiers zéros sont bien sur la droite 1/2

FONCTION DE MÖBIUS

La fonction mu de x compte la nature des diviseurs de x

Elle se construit de la manière suivante:

Si un des diviseurs de x se répète
m (x) = 0

12 = 1 x 2 x 2 x 3
m (12) = 0

25 = 5 x 5
m (25) = 0

Si tous les facteurs sont distincts


et si le nombre est pair
m (x) = 1

6 = 2 x 3
m (6) = 1

Si tous les facteurs sont distincts


et si le nombre est impair
m (x) = -1

70 = 2 x 5 x 7
m (70) = -1




On calcule m (n) pour tous les nombres jusqu'à n

on ajoute les valeurs obtenues

on obtient la fonction M(n)



M(n) = somme de tous les m (n)



Il a été montré que la conjecture de Riemann est équivalente à la conjecture suivante:

M(n) ne croît pas plus vite que que k.N1/2+e

avec e arbitraire, mais plus grand que 0 .

voila ce qui est dit au sujet de cette conjecture.

je pense qu'il sera difficile de la démontrer car si elle est liée à la fonction de möbius celle ci ne donne aucune indication dans l'ensemble des nombres premiers et composés congrue P(30) qui représente exactement 26.666...6 % des entiers naturels a lexeption des trois nombre P: 2 , 3 et 5 et leur multiple.

Cette fonction de möbius qui calcule le nombre de valeur = 0, pour n donné n’est valable que dans l’ensemble des entiers naturels, mais n’apporte aucune indication dans l’Ep(30), par conséquent rient d’intéressant sur la répartition des nombres P ! Il en sera de même en divisant ce nombre de valeur par 3,75 puisque pour n entiers / 3,75 = n nombres P(30). D’où si on choisis 100 nombres dans l’Ep(30) on aura un résultat faux par rapport aux 100 premiers entiers naturels par exemple:
En effet dans ce cas cité le nombre de valeur = 0 serait de 39,207 = 100 * (1 – 6 /p² ), le
Nombre réel calculé = 40 val.

Alors que pour les 100 nombres de l’Ep(30) de 7 à 373 cette fonction me donnerait : 373 * (1 – 6/ p² ) = 146,243 qui divisait par 3,75 = 38,998 val .
le nombre réel calculé pour ces nombres est de 6 val sur 28 composés !
ce qui n’apporte aucun renseignement sur la répartition des P .
(" a moins de divisé (1 - 6/p²) par 3.75 ce que je n'ai pas éssayé.)

L’intérêt justement serait de donner une réponse exacte dans l’Ep(30) ce qui est impossible avec cette fonction. or si on ne peut calculer ce nombre,dans la famille des nombres premiers;
peut être faut'il trouver une autre fonction..?

en est-il de même avec la conjecture de Riemann le but étant d'aporter une explication et une estimation, au nombre de nombre premier pour n donné! si on ne peut pas donner ce nombre dans les 26.66% qui restent je doute fort qu'on puisse le faire dans les 100% puisque dans les 74 % il n'y en a aucun.
De plus dans cette ensemble p(30) il y a un processus inverse c'est a dire que le nombre de composé p(30) pour un Nombre P tend a se stabiliser vers 12.007....lorsque n tend vers l'infini.

chiffre internet:
1 000 000 000 000 000 29 844 570 422 669 33,5
10 000 000 000 000 000 279 238 341 033 925 35,8
100 000 000 000 000 000 2 623 557 157 654 233 38,1
1 000 000 000 000 000 000 24 739 954 287 740 860 40,4
10 000 000 000 000 000 000 234 057 667 276 344 607 42,7
100 000 000 000 000 000 000 2 220 819 602 560 918 840 45,0

dans l'ensemble P(30):
On constate qu’effectivement la valeur de : n /Pi (n) dans l’ensemble des entiers naturels augmente de 2,3 entre chaque puissance . Mais il en est tout autrement dans la famille des nombres Premiers et de leurs Composés, l’Ep(30). En effet on à constaté que les différences augmentent, jusqu’à D5 = 0.616340717443… « presque le nombre d’or = 0,618033.. », puis diminuent, puis augmente jusqu’à D8 , pour ensuite diminuer , mais jusqu’où ? 0.614…0.613…0.612…vers zéro ? Alors est ce que l’hypothèse de Riemann donne des indications dans L’Ep(30), ou bien comme la fonction de Möbius elle est inutile dans cet Ensemble des nombres P (30) ?

Or cette vérité est contredite dans L’Ep(30), effectivement le nombre de composé C, pour un nombre P tend à diminuer et à se stabiliser ;
la différence D entre les quotients tend vers zéro lorsque P tend vers l’infini. ex : pour
10^1 = 1 dans L’Ep(30), 10^2 = 26, 10^3 = 266, 2666, ….266 666 666666 666 666 666 = 10^21
et le nombre de P jusqu’à 10^21 = 2 220 819 602 560 918 840

N/P = Q, nombre de composé p (30) pour un P
et Q21 = 12,0075789298312… ;
Q1 = 1, Q2 = 1,1818181818 …, Q3 = 1,6121212121.. ; Q4 = 2,78089477526…;

différence D entre les Qotients
Q2 – Q1 = D1 =0,18181818181….. Q21 – Q20 = D19 = 0.614375..

D2 = 0,43030303.. ; D3 = 0,562430174…. ; D4 =0,606343388… ;D5 = 0,616340717..
D6 = 0,615346965.. ; D7 = 0,615880296… ;D8 = 0,615974108…;D9 = 0,615692711..
D10= 0,615419658.. ;D11= 0,615157280.. .; D12 = 0,614963028..;D13 = 0,614814491..
D14= 0,614697906.. ;D15 = 0,614605014.. ;D16 = 0,614530063.. ;D17 =0,614468728...
D18=0,614417892.. ; D19 = 0,614375290327….

référence :internet

DÉNOMBREMENT
Table Pi (n)
N Pi (n) n /Pi (n)
10 4 2,5
100 25 4,0
1 000 168 6,0
10 000 1 229 8,1
100 000 9 592 10,4
1 000 000 78 498 12,7
10 000 000 664 579 15,0
100 000 000 5 761 455 17,4
1 000 000 000 50 847 534 19,7
10 000 000 000 455 052 512 22,0
100 000 000 000 4 118 054 813 24,3
voila pour ces quelques détails A+

[invite4793db90]

Salut,

La preuve, c'est le fichier qui s'appelle Riemann zeta functions ? Je ne l'ai que survolé, mais je trouve déjà étrange qu'il ne soit mentionné ni dans le titre ni dans la démonstration qu'il s'agit d'une preuve de la conjecture de Riemann, et un peu dommage que l'auteur ne résume pas brièvement quelle est l'idée de la preuve.
Sinon je ne sais pas ce que tu en penses, mais je trouve assez étrange un tel rejet de la part des mathématiciens... Il serait assez intéressant d'avoir une autre version des faits, même si je ne prétend rien réfuter...

C'est effectivement ce fichier. Je suis d'accord avec toi sur le fait que sa démarche n'est pas du tout annoncée et que ça le dessert. J'ai cherché un peu sur le net, mais j'ai l'impression que peu de gens s'est interressé à valider/réfuter son travail jusqu'à présent. En même temps, il faut un moment pour éplucher les 124 pages...

Si je puis me permettre, savoir si je pense que Untel vient ou non de démontrer l'hypothèse de Riemann ne présente pas d'intérêt.
Ou il l'a fait ou bien il ne l'a pas fait, et seules des vérifications poussées de ses travaux le prouveront.

On est d'accord. L'intérêt est, comme tu l'as souligné dans ton message, qu'il faudra certainement des idées neuves pour venir à bout du problème de Riemann. Je ne connais pas la valeur du travail de De Branges (d'une part, je n'ai pas pris le temps de m'y plonger, et d'autre part, je ne pense pas que mes connaissances soient suffisantes), mais on peut imaginer qu'il y a au moins quelques idées originales, même s'il y a peut-être des erreurs.

Merci pour ton message Leg, tu rejoins la remarque de BS sur la conjecture de Mertens. A ce sujet, l'ouvrage d'Edwards, The Riemann Zeta function donne pas mal d'infos et d'autres énoncés équivalents (séries de Farey, etc.).

Des "preuves" de Riemann il y en a tous les mois sur arXiv.org !

Mais qui les lit? Et s'il n'y avait pas de prix à la clé?

Cordialement.

[invite1d18c59d]

Je m'intéresse à RH. Vous trouverez mes 4 articles sur le sujet sur le site henri.voici.org. Il n'y a pas de preuve bien sûr mais vous trouverez un tour d'horizon assez complet sur le sujet.

[invite4793db90]

Salut henri92,

je me permets de faire une remarque au sujet de ton document L'Hypothèse de Riemann : un panorama. A la page 5, il y est écrit que Hadamard a montré que n'a pas de zéro pour grâce à une relation trigonométrique sur une idée de Mertens.

Or c'est la démonstration de De La Vallée Poussin qui s'appuie sur l'idée de Mertens, celle de Hadamard étant sensiblement différente.
Source: Riemann's Zeta Function, H.M Edwards.

Cordialement.

[invitecd48d721]

Vive la mauvaise foi !

Félicitations à Atle Selberg pour la phrase qui tue :
(à propos de la preuve de la conjecture de Bieberbach par De Branges )

"Louis de Brange a fait toutes sortes d'erreurs, et cette fois-là il a fait l'erreur d'être correct"...
(The Strange Case of Louis de Branges , le lien est donné dans le premier message de cette conversation)


No comment.

[invite4793db90]

Vive la mauvaise foi !

A quel propos?

[invitecd48d721]

La mauvaise foi de l'un des détracteurs de De Branges, Atle Selberg, qui ne veut même pas reconnaître le mérite de De Branges à propos de la preuve de la conjecture de Bieberbach.

Sa réputation a beau être mauvaise, on ne peut pas lui retirer les palmes à propos de cette preuve !

[invite4793db90]

Je ne pense pas que Selberg voulait minimiser le mérite de De Branges. Simplement, il a du être surpris qu'un mathématicien auquel il n'accordait que peu de crédit ait pu démontrer cette conjecture. Je n'en sais pas plus sur la relation entre De Branges et Selberg, je resterai donc sur cette remarque personnelle et donc subjective.

Souvenons-nous néanmoins que Selberg publia seul une preuve "élémentaire" du théorème des nombres premiers, bien qu'Erdös y avait participé...

[invite40ac41cf]

S'il a démontré l'hypothèse de Riemann,bravo!!!Car cette hypothèse reste la plus difficile!Mais ça m'étonnerais qu'il l'ait résolue car ça aurai été très médiatisé.Par contre j'ai peut être résolu la conjecture de Riemann!!!!!!!!!J'en ai parlé à mon professeur de maths et on verra ce qu'il me répondra.Mais Riemann prétendait qu'il avait résolu son hypothèse.

[invite40ac41cf]

Bonjour Leg,
vous dites qu'au moins 1/3 des zéros sont sur la droite critique. Mais en fait, il y en a au moins 2/5!
Source: article de Wikipédia sur la conjecture de riemann

[invite4793db90]

Salut,

Mais Riemann prétendait qu'il avait résolu son hypothèse.

Non, c'est faux : Riemann n'a rien prétendu ! Il a seulement formulé la conjecture qui porte son nom (baptisée bien plus tard hypothèse par ceux qui la supposaient vraie, car origine de nombreuses implications). De toute façon, c'était un résultat annexe dans son article (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 1859) :

Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wâ̈re allerdings ein strenger Beweis zu wü̈nschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flü̈chtigen vergeblichen Versuchen vorlä̈ufig bei Seite gelassen, da er fü̈r den nä̈chsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

Cordialement.

[invite4ef352d8]

Louis de brange est peut-etre un mathématicien brillant, mais il semblerai qu'il ai plusieurs publié de article éroné et Si je ne m'abuse, ce n'est pas la première fois qu'il affirme avoir démontré l'hypothèse de riemann... et je ne suis pas sur que les gens se presse encore pour lire ces preuves, surtous à ce sujet... donc je ne sais pas si on aura une réponse dans l'immédiat, mais il ne faut pas avoir trop d'espoir.
apres je suis encore loin d'avoir le niveau pour juger son article... d'ailleur dans l'immédiat je n'ai meme pas la motivation pour essayer de le lire en entier ^^

[invite4793db90]

Salut Ksilver,

merci pour ta réponse, même si le topic date de 2004...

Cordialement.

[invite4ef352d8]

Lol... je l'ai vu en première page donc j'ai pas fait attention

et comme j'avais déja vu une annonce similaire (en 2004 probablement) j'ai cru que s'en était une nouvel

[invite40ac41cf]

Bonjour martini bird,
Lisez le livre "la symphonie des nombres premiers" de Marcus du Sautoy et vous comprendrez que la gouvernante de Riemann,après mort de celui-ci,avait brulé la majorité des papiers de Riemann dont sa "prétendue démonstration".

[invite4ef352d8]

De ce qu'on en sais, Riemann n'as jammais réellement essayé de démontrez son hypothèse, ni prétendu l'avoir fait. en fait toute ca contribution à la théorie des nombres est son papier (qui était totalement révolutionaire, et qu'on étudie encore aujourd'hui) de 1859 dans lequel il énoncé l'hypothèse de riemann. il n'as sauf erreur plus jammais retravaillé sur la question ensuite.
à l'époque Riemann as essayé (sans succès) de démontrer le théorème des nombres premier. et il avait très bien vu que son hypothèse impliquait le théorème des nombres premiers. c'est sur les bases de son travail que Hadamard et De La Vallé Poussin ont put démontrer le théorème des nombres premier une quarrantaine d'année plus tard. (en 1896)

[invite4793db90]

Salut,

Bonjour martini bird,
Lisez le livre "la symphonie des nombres premiers" de Marcus du Sautoy et vous comprendrez que la gouvernante de Riemann,après mort de celui-ci,avait brulé la majorité des papiers de Riemann dont sa "prétendue démonstration".

pour une biographie plus sérieuse, il y a le livre de Laugwitz.

Cordialement.

[invite40ac41cf]

Extrait du livre "la symphonie des nombres premiers"
"On ne peut que se demander ce que l'on aurait trouvé si sa gouvernante ne s'était pas montré aussi zelée.Une déclaration de Riemann dans son article de 10 pages montre qu'il pensait avoir prouvé que la plupart des 0 sont situés sur la droite critique.Son perfectionnisme lui interdisait de trop en dire et il se contenta de rapporter que sa démonstration n'étais pas encore prete à être publié"

[invite4ef352d8]

à mon avis, c'est une interprétation très libre des mots de Riemann (que je ne saurait pas citer... de toute facon ils sont en allemand).à ma connaissance (j'ai jammais consulter l'article en question, mais à ce que mon dit des professeurs qui eux l'ont étudié...) Il dit plutot qu'il à acquis l'intime conviction que c'était vrai (sans trop dire pourquoi, mais aujourd'hui on peut assez facilement l'imaginer), mais que toutes ces tentatives pour le prouvé rigourement ont échoué, et que de toute facon la preuve de cette affirmation n'est pas vraiment l'objet du présent mémoire.

[invite4793db90]

Salut,

l'article de Riemann demeure. Par contre, quelles indices ou témoignages soutiennent l'existence des actes de sa gouvernante ? Je serais surpris qu'ils soient cités dans ton bouquin, et je pense que c'est pur invention pour servir l'intrigue (ce qui n'est pas dramatique puisqu'il s'agit d'un ouvrage de vulgarisation, et non d'un travail d'historien).

Cordialement.

[invite4ef352d8]

Oh je ne doute pas que l'anecdote de la gouvernant détruisant les "brouillons" de riemann soit vrai. apres de la à imaginer que ceux-ci aurait put contenir une preuve de l'hypothèse, il y à du chemin quand meme. de plus il est à peu pres inimaginable que rieman est put avoir une preuve correcte de son hypothèse : franchement, Rieman avait beau être un mathématicien brillant, les plus grand mathématiciens actuelle le sont tous autant... et ils ont tous dans le monde réfléchie à l'hypothèse de riemann, et ceux depuis 250 ans... donc si riemann avait put sans y passer plus de temps que cela démontrer son hypothèse, quelqu'un d'autre aurait su le faire depuis bien longtemps...

[invite40ac41cf]

Riemann n'avait pas prouvé que TOUS les 0 étais situé sur la droite critique mai que la PLUPAR y étai situé.Et puis,Marcus du Sautoy ne raconterais pas n'inporte quoi puisqu'il es prof à Oxford.Et Riemann étais un génie et étais parfois +fort que certains mathématiciens.