Hypothèse du continu

[invitec255c052]

En 1890 Cantor pose cardinal N = aleph 0
et Card R = c
Il conjecture alors que card R = aleph 1

1938 Gödel démontre que non(HC) n'est pas prouvable
1963 Cohen démontre que HC n'est pas prouvable

HC hypothèse du continu

2000 W. Hugh WOODIN démontre que Card R n'est pas égal à aleph 1 , en ajoutant à l'axiome de choix de Zermelo-Fraenkel (ZFC) l'axiome de Martin maximal Woodin (MMW).

Alors, à quoi est égal aleph R ?

Cette histoire de "continu" est très liée à la compréhension de notre univers physique : comment passe t'on des quanta discontinus au macroscopique continu ?
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[inviteb0df2270]

C'est un peu trop technique pour moi encore... Alors pour ceux qui comme moi n'ont pas compris:

http://www.bibmath.net/dico/index.ph..../a/aleph.html

Ca me semble en tout cas très intéressant, surtout l'hypothèse du continu effectivement.

Autre question, quel est cet axiome de choix de ZFC ? Celui de Zorn est l'axiome communément utilisé non ? Qu'est-ce qui change avec l'axiome de ZFC ?

Merci d'avoir soulevé ces interrogations chez moi, ça va me pousser un peu à m'instruire

Edit: Pour aider encore ceux pour qui c'est trop technique, j'ai encore trouvé une page intéressante: http://www.sciences-en-ligne.com/mom.../axiom_zf.html

[invite5b168fdb]

j'ai lu un article dans un "pour la science" d'il y a quelque temps, où on présentait l'hypothése selon laquelle le temps lui-même pourrait être discontinu.
alors le continu existe-t-il ou n'est-il qu'un pur concept mathématique ?
qd à la question du cardinal de R, je ne peux pas y répondre. j'en suis restée à card R = aleph 1

[invite3bc71fae]

Bon, je vais tenter une explication:
un seul prérequis: savoir ce que c'est qu'une bijection.

On dit que deux ensembles ont le même cardinal s'il existe une bijection entre ces deux ensembles.

Pour les ensembles finis, cela revient à dire qu'ils ont le même nombre d'éléments mais pour les ensembles infinis c'est déjà moins intuitifs.

Ex: Card(N) = Card(Z) = Card(Q).

L'hypothèse du continu revient à dire que si on a un ensemble A tel que N inclus ds A inclus ds R alors
Card(A) = Card(N) ou Card(A) = Card (R).

La question de savoir si la continuité est une réalité physique ou seulement un principe simplificateur pour modéliser les propriétés de l'univers n'est pas tranchée.

En tout cas , l'utilité de l'hypothèse du continu pour la modélisation n'est plus à démontrer.

On peut démontrer que le lemme de Zorn découle directement de l'axiome du choix.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec255c052]

Z = Zermelo
ZFC = Axiome de choix de Zermelo-Fraënkel

Je n'ai pas le niveau math pour comprendre ou expliquer. Je n'ai fait que retranscrire en abrégé un article de vulgarisation lu dans une encyclopédie "La science au présent".
Je suis plutôt physicien et je ne m'interesse aux math que lorsque je peux les raccrocher à un problème concret.
Donc, dans notre monde physique réel, d'après la mécanique quantique, l'infini n'existe pas, que ce soit l'infiniment grand ou petit, et que ce soit pour l'énergie, le temps ou l'espace.
A mon avis l'infini qui apparait en math est un artifice, de même que en physique d'avant Einstein, le temps et l'espace, immuables et infinis étaient des artifices.
Il faut remarquer que la mécanique quantique introduit partout la notion de hasard ou de propabilité, alors que la mécanique classique est parfaitement déterministe.
J'en déduit que l'infini est équivalent au hasard...