Hypothèse du continu

[invite14e03d2a]

Bonjour!

J'ai un petit souci de compréhension sur l'hypothèse du continu:

Je n'arrive pas à la comprendre: puisque tout cardinal infini est un aleph, l'hypothèse du continu me semble évidente.
Ma définition des cardinaux suppose l'axiome du choix. Est-ce que l'hypothèse du continu est équivalente à AC?

Bonne fin de week-end
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[invite9cf21bce]

Salut !

Bonjour!

J'ai un petit souci de compréhension sur l'hypothèse du continu:

Je n'arrive pas à la comprendre: puisque tout cardinal infini est un aleph, l'hypothèse du continu me semble évidente.
Ma définition des cardinaux suppose l'axiome du choix. Est-ce que l'hypothèse du continu est équivalente à AC?

Bonne fin de week-end

est le plus petit cardinal supérieur à
On sait juste que (on a donc ).

L'hypothèse du continu, c'est qu'il n'y a rien entre et .

À part ça, si ZFC (ensembles + choix) est non contradictoire, tu peux y ajouter au choix l'hypothèse du continu ou sa négation, ça reste non contradictoire.

Taar.

[invite14e03d2a]

Mais , c'est la cardinalité de R. L'hypothèse du continu signifie-t-elle alors que et que sans HC on ne peut rien dire (si ça se trouve card(R)=)?

Je pense que la réponse est "oui, bien sûr. Réfléchis un peu, Taladris " mais c'est que j'ai vraiment du mal avec les cardinaux infinis

Merci

[invite4ef352d8]

d'ailleur, comment on sais que les cardinalité peuvent etre numéroté ? (enfin, si il y a une réponse simple à cette question ... )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Mais , c'est la cardinalité de R. L'hypothèse du continu signifie-t-elle alors que et que sans HC on ne peut rien dire (si ça se trouve card(R)=)?

Je pense que la réponse est "oui, bien sûr. Réfléchis un peu, Taladris " mais c'est que j'ai vraiment du mal avec les cardinaux infinis

Merci

"oui, bien sûr. Réfléchis un peu, Taladris "

[invite9cf21bce]

card(R)=)?

Oui, bien sûr, ça peut arriver. Réfléchis un peu, Taladris
Ou sinon regarde Wikipedia.

d'ailleur, comment on sais que les cardinalité peuvent etre numéroté ? (enfin, si il y a une réponse simple à cette question ... )

Regarde le cours de Dehornoy p. 133 (on suppose l'axiome du choix).

Taar.

[Médiat]

d'ailleur, comment on sais que les cardinalité peuvent etre numéroté ? (enfin, si il y a une réponse simple à cette question ... )

Les cardinaux peuvent être définis comme le plus petit ordinal appartenant à une classe d'équipotence, ce sont donc des ordinaux. Donc on peut y définir la notion de successeur (le plus petit qui ...), donc à partir de on peut définir (le successeur). Pour les ordinaux limites () la définition est un peu plus compliquée ( est le sup des pour < .
Ensuite, une "petite" récurrence (utilisable grace à la définition ci-dessus) permet de montrer que tout cardinal est un (pas si petite la récurrence )

[Médiat]

(on suppose l'axiome du choix).

Absolument, généralement on suppose l'axiome du choix dés la définition des cardinaux. Pour être complet, il existe des définition de cardinaux sans AC, mais elles ne permettent pas d'obtenir de bons théorèmes, donc "en général" dès que l'on parle de cardinaux, on suppose AC.

[invite14e03d2a]

Salut !

si ZFC (ensembles + choix) est non contradictoire
Taar.

Merci à tous pour vos reponses si rapides

Taar: tu as dit: "si ZFC est non contradictoire", cela n'a jamais été prouvé?
Est-ce le fameux théorème d'incomplétude?

[Médiat]

Taar: tu as dit: "si ZFC est non contradictoire", cela n'a jamais été prouvé?
Est-ce le fameux théorème d'incomplétude?

C'est une conséquence du deuxième théorème d'incomplétude de Gödel pour être précis.