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Hypothèse du continu



  1. #1
    taladris

    Hypothèse du continu


    ------

    Bonjour!

    J'ai un petit souci de compréhension sur l'hypothèse du continu:

    Je n'arrive pas à la comprendre: puisque tout cardinal infini est un aleph, l'hypothèse du continu me semble évidente.
    Ma définition des cardinaux suppose l'axiome du choix. Est-ce que l'hypothèse du continu est équivalente à AC?

    Bonne fin de week-end

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Taar

    Re : Hypothèse du continu

    Salut !
    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Bonjour!

    J'ai un petit souci de compréhension sur l'hypothèse du continu:

    Je n'arrive pas à la comprendre: puisque tout cardinal infini est un aleph, l'hypothèse du continu me semble évidente.
    Ma définition des cardinaux suppose l'axiome du choix. Est-ce que l'hypothèse du continu est équivalente à AC?

    Bonne fin de week-end
    est le plus petit cardinal supérieur à
    On sait juste que (on a donc ).

    L'hypothèse du continu, c'est qu'il n'y a rien entre et .

    À part ça, si ZFC (ensembles + choix) est non contradictoire, tu peux y ajouter au choix l'hypothèse du continu ou sa négation, ça reste non contradictoire.

    Taar.

  4. #3
    taladris

    Re : Hypothèse du continu

    Mais , c'est la cardinalité de R. L'hypothèse du continu signifie-t-elle alors que et que sans HC on ne peut rien dire (si ça se trouve card(R)=)?

    Je pense que la réponse est "oui, bien sûr. Réfléchis un peu, Taladris " mais c'est que j'ai vraiment du mal avec les cardinaux infinis

    Merci

  5. #4
    Ksilver

    Re : Hypothèse du continu

    d'ailleur, comment on sais que les cardinalité peuvent etre numéroté ? (enfin, si il y a une réponse simple à cette question ... )

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Hypothèse du continu

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Mais , c'est la cardinalité de R. L'hypothèse du continu signifie-t-elle alors que et que sans HC on ne peut rien dire (si ça se trouve card(R)=)?

    Je pense que la réponse est "oui, bien sûr. Réfléchis un peu, Taladris " mais c'est que j'ai vraiment du mal avec les cardinaux infinis

    Merci
    "oui, bien sûr. Réfléchis un peu, Taladris "
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    Taar

    Re : Hypothèse du continu

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    card(R)=)?
    Oui, bien sûr, ça peut arriver. Réfléchis un peu, Taladris
    Ou sinon regarde Wikipedia.

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    d'ailleur, comment on sais que les cardinalité peuvent etre numéroté ? (enfin, si il y a une réponse simple à cette question ... )
    Regarde le cours de Dehornoy p. 133 (on suppose l'axiome du choix).

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 17/06/2007 à 16h05.

  9. Publicité
  10. #7
    Médiat

    Re : Hypothèse du continu

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    d'ailleur, comment on sais que les cardinalité peuvent etre numéroté ? (enfin, si il y a une réponse simple à cette question ... )
    Les cardinaux peuvent être définis comme le plus petit ordinal appartenant à une classe d'équipotence, ce sont donc des ordinaux. Donc on peut y définir la notion de successeur (le plus petit qui ...), donc à partir de on peut définir (le successeur). Pour les ordinaux limites () la définition est un peu plus compliquée ( est le sup des pour < .
    Ensuite, une "petite" récurrence (utilisable grace à la définition ci-dessus) permet de montrer que tout cardinal est un (pas si petite la récurrence )
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Médiat

    Re : Hypothèse du continu

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    (on suppose l'axiome du choix).
    Absolument, généralement on suppose l'axiome du choix dés la définition des cardinaux. Pour être complet, il existe des définition de cardinaux sans AC, mais elles ne permettent pas d'obtenir de bons théorèmes, donc "en général" dès que l'on parle de cardinaux, on suppose AC.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    taladris

    Re : Hypothèse du continu

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Salut !

    si ZFC (ensembles + choix) est non contradictoire
    Taar.
    Merci à tous pour vos reponses si rapides

    Taar: tu as dit: "si ZFC est non contradictoire", cela n'a jamais été prouvé?
    Est-ce le fameux théorème d'incomplétude?

  13. #10
    Médiat

    Re : Hypothèse du continu

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Taar: tu as dit: "si ZFC est non contradictoire", cela n'a jamais été prouvé?
    Est-ce le fameux théorème d'incomplétude?
    C'est une conséquence du deuxième théorème d'incomplétude de Gödel pour être précis.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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