Hypothèse de Riemann indécidable ?

[invitec314d025]

Qu'explicite-t-on dans l'approche des modèles?

De la manière dont je le vois, on inclue la théorie dans une théorie plus large (donc on pourrait dire que ça revient à expliciter d'autres axiomes).

Par exemple (pris dans un bouquin sur le théorème de Gödel), si on considère le système formel concernant deux classes S et D (que l'on ne définit pas) :
1) Tous les membres de S pris deux à deux sont contenus dans un seul membre de D
2) Aucun membre de S n'est contenu dans plus de deux membres de D
3) Les membres de S ne sont pas tous contenus dans un seul membre de D
4) Tous les membres de D pris deux à deux contiennent un seul membre commun de S
5) Aucun membre de D ne contient plus de deux membres de S

Un modèle serait de considérer un triangle, S l'ensemble des sommets et D l'ensemble des côtés.

Le but du modèle est a priori de "démontrer" la cohérence du système en l'incluant dans un autre qui est supposé cohérent.

En fait, j'ai l'impression le modèle n'impose pas nécessairement une table de vérité pour l'ensemble des formules, il suffit que les axiomes soient démontrables dans le modèle (mais là on assimile un modèle à une autre théorie).
Come quoi tout n'est pas encore clair pour moi, mais bon ce n'est pas une surprise.
-----

[invite4660d0b5]

Pour plus de détails sur ces définitions, je recommande vivement le petit livre de Raymond Smullyan "Les théorèmes d'incomplétude de Godel" chez Dunod (épuisé, mais trouvable d'occasion) où tout ceci est extrèmement bien expliqué, notamment la notion de vérité dans divers systèmes (en résumé, cela se fait par récurrence sur la "taille" de l'énoncé, en partant d'énoncés du type a=b est vrai ssi a et b représentent le meme objet, puis en introduisant des variables et quantificateurs)

[invite7863222222222]

Merci. Cet auteur est vraiment génial, ca promet.

[inviteb47fe896]

D'accord, d'accord. Mais je dois admettre que je n'avais vraiment pas compris. L'algo est quand même pas hyper intuitif.
Merci,

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rvz

Alors ? fini les hallucinations ?...J'espère que les choses sont claires maintenant ; cependant je suis étonné par le "silence radio". Je signale, à tout hasard, que ces découvertes sont déposées à l'Académie des Sciences depuis cinq ans et que le "Journal de la Théorie des nombres" de Bordeaux ainsi que l'équipe de Paris VI spécialisée dans cette théorie sont au courant de ces avancées dans le domaine.

[invite7863222222222]

cependant je suis étonné par le "silence radio".

Heuu, on peut dire que c'est un art de stimuler la curiosité, aussi . . .

[inviteb47fe896]

Heuu, on peut dire que c'est un art de stimuler la curiosité, aussi . . .

La prudence aussi...

[invite6acfe16b]

Cela ça ne m'éclaire pas, parce que cette différence n'est pas pour moi mathématisable (mais c'est une opinion). C'est une notion de représentation entre un formalisme et une réalité perçue comme ayant un autre statut. C'est de la physique. Les droites de la géométrie, c'est pour moi les droites de l'espace-temps Newtonien par exemple.

Sans cette réalité externe, un système formel n'exprime que des relations internes, et qu'on parle de droite ou de sbritz n'y change rien.
Cordialement,

En fait, je suis d'accord avec toi, mais je vois les choses différemment. En fait, c'est vrai que l'on passe d'un système à un autre sans changer le fait que l'on reste dans des systèmes mathématiques. Mais de toutes façons, on arrivera jamais à sortir de cela, il y a toujours quelque chose que l'on n'aura pas démontré. Pour l'exemple de la théorie d'Euclide et de la géométrie, pour prouver la cohérence de la géométrie,on doit utiliser la théorie des ensemble qui bien plus puissante que celle d'Euclide. Donc la géométrie est consistante si la théorie des ensemble l'est, mais on a toujours de la consistance relative. A mon avis, on ne peut pas se sortir de cela.

Cordialement

[invité576543]

Pour l'exemple de la théorie d'Euclide et de la géométrie, pour prouver la cohérence de la géométrie,on doit utiliser la théorie des ensemble qui bien plus puissante que celle d'Euclide. Donc la géométrie est consistante si la théorie des ensemble l'est

Une incise pas nécessairement pertinente au sujet: le "Donc" ne tient pas, tu parles avant le donc de prouver la cohérence, et après le donc on trouve est cohérente.

Cordialement,

[invite6acfe16b]

Une incise pas nécessairement pertinente au sujet: le "Donc" ne tient pas, tu parles avant le donc de prouver la cohérence, et après le donc on trouve est cohérente.

D'accord, je suis aller un peu vite : je n'ai rien prouvé du tout, je voulais seulement expliquer comment on passait de la théorie d'Euclide au modèle de la géométrie.

[leg]

cependant je suis étonné par le "silence radio". Je signale, à tout hasard, que ces découvertes sont déposées à l'Académie des Sciences

bonjour.
le problème c'est, son utilité comme toujours. car si à 10¹⁰ton pc rame, qu'en serra t'il pour les nombres de mersennes pour savoir si ils sont premier. par ex pour 2¹²⁷-1, qui est premier combien il te faudrait de temps pour le savoir avec ton algo?

de plus, si les lacunes sont des puissances de deux par exemple, qu'est-ce que celà apporte de plus;
déjà que l'hypothèse de riemann n'apporte qu'une estimation sur le nombre de nombre premiers,
(" estimation avec de plus en plus d'écart avec le nombre réel de nombre premiers lorsque l'on tend vers l'infini.")

ton algorithme me fait penser au lacunes de l'ensemble P(30)
on prend le triplet pythagoricien 3,4 et 5 et on multiple par k= 2,3,4.....n
3.4.5; 6.8.10, 9.12.15 .....etc etc .
les lacunes sont tout simplement :

a) les multiples de 2 = 2, 14 , 22 , 26 , 34, 38, 46, 58....
autrement dit: l'ensemble 2*P (60)

b)l'Ensemble P(30) pour P de 1 à 29, où dans cet algorithme 1 serra remplacé par 31.

1 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29
31, 37 , 41 , 43 , 47 , 49 , 53 , 59
etc etc

Pour en revenir à ce sujet, décidable ou pas, vrai ou faux, cette hypothèse de Riémann à t'elle pour raison, de construire des théories qui ne resteront que des supposition ou des estimation en la supposant vrai, jusqu'à une limite définie ?
cela a au moins une vérité, faire couler de l'encre et de trouver d'autres idées, donc elle n'est pas aussi fausse que ça ou indécidable , puisque l'on décide de savoir.....

[inviteb47fe896]

[QUOTE=leg]bonjour.
le problème c'est, son utilité comme toujours. car si à 10¹⁰ton pc rame, qu'en serra t'il pour les nombres de mersennes pour savoir si ils sont premier. par ex pour 2¹²⁷-1, qui est premier combien il te faudrait de temps pour le savoir avec ton algo?

Permettez que je garde pour moi l'utillité de "mon" algo en ce qui concerne les nombres de Mersenne ; sachez cependant qu'avec un pentium de 3 giga le temps est divisé par quarante. L'algo ne sert d'ailleurs que pour trouver l'exposant ; ensuite il faut faire autrement.
Bon courage

[inviteb47fe896]

Citation de Leg
de plus, si les lacunes sont des puissances de deux par exemple, qu'est-ce que celà apporte de plus;
déjà que l'hypothèse de riemann n'apporte qu'une estimation sur le nombre de nombre premiers,

C'est la conjecture de Riemann dont il s'agit c'est à dire celle qui émet l'idée que tous les zéros de la fonction Zéta sont situés sur la droite y=1/2.
Quand le nombre considéré tend vers l'infini les lacunes qui subsistent sont les puissances de 2. Cela peut-il avoir un rapport avec la conjecture ? C'est une question mais pas une réponse.

[leg]

Permettez que je garde pour moi l'utillité de "mon" algo en ce qui concerne les nombres de Mersenne ; sachez cependant qu'avec un pentium de 3 giga le temps est divisé par quarante. L'algo ne sert d'ailleurs que pour trouver l'exposant ; ensuite il faut faire autrement.
Bon courage

(le test de lucas. L.)
pour les n de Mersenne, je ne pense pas que cela pose des problèmes pour trouver un exposant premiers > 30402457.
l'algo P(30) me les donne par famille p(30) jusqu'à
487 000 000 000. dans l'ordre croissant .
c'est d'ailleur pour cela qu'aucun algo n'a d'interêt sauf effectivement, si il servait a démontrer autre chose par ex l'infinité des premiers jumeaux ou d'autre nombre de Fermat premier etc etc

OR cette hypothèse, on va dire qu'elle est vrai. trés bien permet elle de résoudre l'infinité des: P jumeaux , des N de Fermat premiers , ceux de Mersenne , Catalan, le nombre de premiers jusqu'à X, pour X ayant quelque million de chiffres à mille nombres prés,
est ce que celà permet de démontrer la courbe oscillatoire du nombre de nombres premiers par rapport à zéro lorsque P tend vers l'infini;
que le nombre de premiers d'une des huit famille P(30) reste proportionellement équivalent aux autres famille P(30) lorsque P tend vers l'infini, çà par contre c'est une conjecture de l'algo P(30) et pas de l'hypothèse de R.
en quoi elle expliquerait mieux la répartition des nombres premiers ...voilà ce qui serait déjà interressant de savoir.

[inviteb47fe896]

Pour les nombres premiers jumeaux on peut constater que quel que soit le nombre on trouve toujours dans la série des restes deux lacunes successives qui correspondent donc à des nombres premiers jumeaux à venir ; il en existe d'ailleurs quelques fois plusieurs pour un même nombre ; la démonstration semble accessible. De plus on doit pouvoir aussi établir qu'entre un nombre p et le nombre p + 3 + racine carrée de p il y a toujours au moins un nombre premier. Evidemment l'algo n'est pas la panacée de tous les problèmes.
Quant à Mersenne je suis actuellement en mesure de dire dans un délai de vingt minutes si un nombre à onze chiffres est premier ou pas.
Je peux indiquer avec certitude les vingt nombres premiers qui le suivent ainsi que les nombres jumeaux.
Cela vous suffit-il ?

[leg]

Quant à Mersenne je suis actuellement en mesure de dire dans un délai de vingt minutes si un nombre à onze chiffres est premier ou pas.
Je peux indiquer avec certitude les vingt nombres premiers qui le suivent ainsi que les nombres jumeaux.
Cela vous suffit-il ?

pour moi le temps que vous mettez pour me donner ce résultat, je l'ai déjà pour tous les n premiers ainsi que pour tous les jumeaux < 100 000 000 000 en 5 minutes avec l'algo P(30)
peut être que cet algo avec son fonctionnement vous interresserait et par comparaison entre les deux algo il vous permettrait d'accélerer le votre, et peut être avec plus de capacité..si cela vous tente..mais on est limité par windows qui n'accepte que 2,047 giga par instance de programme ce qui veut dire que 'l'on ne peut pas faire une grille de plus de 450 000 000 000.
ou alors il ne faut pas aller sous windows pour continuer au delà. et en plus mon programme n'a pas été amelioré...ce qui est interressant dans cet algo P(30) c'est la factorisation des entiers non premiers, toujours par famille P(30) .

[leg]

De plus on doit pouvoir aussi établir qu'entre un nombre p et le nombre p + 3 + racine carrée de p il y a toujours au moins un nombre premier. ?

ce qui correspond dans l'algo P(30) a une augmentation de N + 1.5 environ et par famille ex:

7 ; p + 3 + racine de 7 donne 12.64 .. ( +5)
37; = donne 46,08...(+9)
67; donne 78,.. (+11)
97;donne 109.8 ...(+12)
127; donne 141.2 ..(+14)
157; donne 172.5..(+15)
187; donne 203.6..(+16)
217; donne 234.7..(+17)
cela est minime comme différence entr P et P+1...mais encore superieur à l'écart entre deus premiers consécutifs (5 + 1 +1 +1...+1)que j'avais a peu prés estimé dans l'Ensemble P(30), donc probalement pas impossible.

[inviteb47fe896]

A vous de voir si leux algos sont susceptibles de se combiner pour améliorer les choses. Quand on dresse un tableau de toutes les colonnes successives obtenues avec mon "algo" ( en faisant croître m dans 3 + 2m ) il apparaît des phénomènes qui méritent peut-être qu'on les étudie...Je laisse ça aux générations futures car le chiffre des unités de mon âge va bientôt changer...

[invite7863222222222]

Je laisse ça aux générations futures

Je vais essayer de me familiariser avec ton algorithme et essayer de voir si je peux remarquer des choses.

[leg]

une question qui devrait éclaircir un peu plus , ce sujet toujours en supposant vrai cette hypothèse de R,
puisque au minimum elle est vraie jusqu'à X connu qu'elle est son importance ou son résultat minimum , sur l'écart entre deux premiers P , ou encore le nombre de premiers pour un entier X donné.
a) si de P à P+3 + sqrt de P il y a au minimum un n Premier soit N = 311, N +3 + sqrt 311= 331 = 1(30)
soit:P = 313.317.331

B) si de P(30) + (5 + (k1)) il y a au minimum un n Premier
(" où K1= (P(30) - P)/30 ;ex pour P =11, N = 311
= P(30) , (311 -11)/30 = 10 = (K 1)."), et 311 + 10 +5 donne 326 il y a un premier P(30) entre 311 et 327 qui ne peut être que +2 =13(30),+4 =17(30) +2 =19(30) + 4 = 23(30) et comme 29(30) étant superieur a un écart de 4 il ne peut en faire parti.soit : 313,317,319 et 323

c) H de R; que donnerait elle ?

[inviteb47fe896]

Pour le développement de la théorie voir :
chez.com/nbrpremiers

[invite9ccabe7a]

Citation envoyée par invité576543

Citation Envoyé par fderwelt
Pour moi, ce raisonnement montre que si l'hypothèse de Riemann est indécidable, alors elle est décidable. Donc elle ne peut pas être indécidable.

Pas d'accord. La formulation de Mattias me semble être la bonne. C'est "Donc elle ne peut pas être prouvée indécidable". C'est assez tordu, il y a une régression à l'infini sous-jacente: "l'hypothèse de Riemman est indécidable" est elle-même une hypothèse, qui peut être vraie, fausse ou indécidable. "l"hypothèse que (l'hypothèse de Riemman est indécidable) est indécidable" est elle-même vraie, fausse ou indécidable... Si vous n'avez pas encore le vertige devant l'abime qui s'ouvre devant vous, y'a un problème...

Cordailement,

Désolé pour mes 6 ans de retard, mais je suis d'accord avec fderwelt, l'hypothèse de Riemann ne peut être indécidable. Je tire mon raisonnement du fait que l'indécidabilité peut en fait être réduite à une combinaison de deux propriétés de la conjecture en question.

1. Si la conjecture est fausse, alors on ne pourra jamais démontrer cette fausseté. (ininfirmabilité ou, comme je l'appellerai ici, f-indécidabilité)
2. Si la conjecture est vraie, alors on ne pourra jamais démontrer cette vérité. (inconfirmabilité ou v-indécidabilité)


Dans le cas de l'hypothèse de Riemann, je pense qu'il est raisonable de dire que si ladite hypothèse est fausse (qu'il y a un zéro non-trivial du plan complexe qui n'a pas 1/2 comme partie réelle), alors cette infirmation de l'hypothèse est possible en un nombre fini d'étapes, notamment en calculant les zéros successivement par force brute (brute force). L'hypothèse est par conséquent f-décidable et ne peut donc pas être indécidable.

Mais là n'est que la première moitié de l'histoire parce qu'il reste la v-décidabilité. Il demeure possible que l'hypothèse soit vraie, mais indémontrable. Dans ce cas on pourrait dire :

Si l'Hypothèse est vraie, on ne saura jamais si elle est vraie ou fausse. Parcontre si elle est fausse, on pourrait le savoir éventuellement en force brute par des calculs probablement gigantesques.

Le hic de la citation du livre est que l'on présuppose le cas où l'on démontrerait la vérité de l'hypothèse de Riemann en passant par l'indécidabilité. Toutefois, on ne trouvera jamais que l'hypothèse est indécidable, parce qu'il faudrait pour cela trouver qu'elle est à la fois f-indécidable et v-indécidable. Or on vient de prouver qu'elle ne peut être f-indécidable!

Enfin, je vous laisse ruminer cela un peu et j'attendrai une réponse de votre part d'ici 2018!

[invite234bc7a5]

Bonjour Nicolas

Tu n'aura pas à attendre 2018!

Je suis très content que quelqu'un soit là pour relancer la discussion. J'ai vu ton message il y a quelques jours, mais comme il y a dans la discussion, bien que certains intervenants aient essayé de clarifier les choses, beaucoup d'imprécisions et de confusions, il y avait tant à dire que je ne savais pas par où commencer.
Alors je me décide finalement à commencer par un bout du problème, quitte à y revenir par un autre bout ensuite.
Tout d'abord je me permets de te demander: est-tu familier avec le Théorème de complétude (sémantique) de Gödel? Et avec son premier Théorème d'incomplétude (syntaxique)?
Parce que quand tu dis que si la conjecture de Riemann est vraie, on ne saura jamais si elle est vraie, tu te places je suppose dans le cas où elle est indécidable et vraie. Or même si une proposition est indémontrable formellement avec le système d'axiomes dont on dispose, on peut néanmoins espérer pouvoir la prouver par d'autres moyens. C'est d'ailleurs ce que fait Gödel dans la démonstration de son premier Théorème d'incomplétude, qui montre donc que la notion de démontrabilité formelle (qui est relative à un système d'axiomes et à de règles de démonstration) ne coïncide pas avec la notion de vérité.
Prenons l'exemple de la preuve par Euclide du fait qu'il existe une infinité de nombres premiers. Il l'a faite évidemment sans utiliser une démonstration formelle à partir d'axiomes, mais sa preuve est unanimement considérée comme valable. Pour différentes raisons nous avons jugé utile, nous, de nous donner des systèmes d'axiomes permettant de décrire les nombres entiers et effectuer des démonstrations. Si nous choisissions très mal nos axiomes, nous pourrions ne pas arriver à démontrer ce qu'Euclide a prouvé. Mais bien sûr nous essayons de choisir les bons axiomes. Cependant malgré tout le soin que nous pourrons apporter à ce choix, il y aura des cas où un Euclide n'utilisant pas nos axiomes aura l'avantage sur nous.
Autrement dit il pourrait arriver que nous prouvions que la conjecture de Riemann n'est pas démontrable avec nos axiomes habituels de l'Analyse, mais que par ailleurs nous prouvions quand même par d'autres moyens qu'elle est vraie.
Si tu savais déjà tout cela ou une partie de cela, excuse moi de l'avoir dit (cela pourra servir à d'autres). En tout cas j'ai fait mon possible pour que la discussion soit bien engagée. Donc à bientôt j'espère.

[Médiat]

elle est indécidable et vraie.

Bonjour,

Voilà exactement le genre de phrase qui "démontre" que le vocabulaire Vrai/faux est dangereux.

Vous avez cité le théorème de complétude de Gödel (qui est syntaxique et sémantique), qui dit justement que ce qui est démontrable est "vrai" dans au moins un modèle, et réciproquement, je suppose donc que vous vous placez dans le cadre d'une théorie du premier ordre.

Donc le problème c'est que votre phrase mélange syntaxique (indécidable) et sémantique (vraie), sinon cette phrase serait manifestement "fausse" ; de plus on ne sait pas ce que veut dire "vraie" ici :
1) vraie dans un modèle particulier (à nous de deviner à quoi vous pensez).
2) vraie dans tous les modèles, et votre phrase devient manifestement "fausse", grace à Gödel.

Il me semble que la phrase "indécidable dans la théorie xxxx, mais vraie dans le modèle mmmm" aurait l'avantage de ne laisser aucune place à l'ambigüité, tout en évitant d'en arriver à conclure " la notion de démontrabilité formelle ne coïncide pas avec la notion de vérité.", alors que justement, le théorème de complétude dit le contraire (en comprenant vérité comme vérité dans un modèle, mais je ne vois pas d'autres définitions possibles)

PS : seriez-vous platonicien ?

[invite234bc7a5]

Bonjour Médiat,

Je suis un peu chagriné par votre intervention, c'est la première fois que cela m'arrive et je crois que cela repose sur un malentendu, que j'espère réussir à dissiper. Je pense que vous avez oublié de replacer mon intervention dans son contexte et de la comparer avec tout le début de la discussion et en particulier avec le message de Nicolas.

Pour ma part, ayant lu tous les messages précédents, j'ai été horrifié par la confusion qui y règne. Comme arrive dans cette discussion un interlocuteur nouveau, Nicolas, qui par ailleurs est très jeune, je me suis demandé par ou commencer pour corriger toutes les erreurs qui se sont glissées dans la discussion.

Estimant qu'on ne pouvait pas traiter d'un seul coup de tous les aspects du sujet, je me suis attaché dans mon message à traiter une seule erreur figurant dans le texte de Nicolas, à savoir la phrase : "Si l'Hypothèse est vraie, on ne saura jamais si elle est vraie ou fausse." Comme cette phrase est manifestement incomplète, et que Nicolas distinguait (lui, pas moi) précédemment deux cas : "indécidable et fausse", "indécidable et vraie", il était assez évident qu'il avait voulu écrire: "Si l'Hypothèse est indécidable et vraie, on ne saura jamais si elle est vraie ou fausse." J'ai donc rajouté l'expression exacte de Nicolas, même si elle est critiquable, pour lui montrer que j'avais compris qu'il se plaçait dans ce qu'il appelle son deuxième cas; pour qu'on soit sûrs de parler de la même chose, sinon mon explication tombait à l'eau. La pédagogie impose souvent de ne pas vouloir tout corriger en même temps, et de laisser passer momentanément certaines choses pour sur concentrer sur d'autres.

Concernant mes expressions "Théorème de complétude (sémantique); Théorème d'incomplétude (syntaxique)", je les ait employées pour deux raisons:

- de nombreux intervenants dans les discussions ne savent pas vraiment qu'on distingue (ou même qu'existent) ces aspects; j'ai donc voulu éveiller la curiosité de Nicolas pour qu'il cherche à savoir ce dont parlent ces termes

- par ailleurs il peut sembler troublant pour des débutants en logique qu'on démontre à la fois complétude et incomplétude, d'où le souhait de faire savoir que les auteurs distinguent plusieurs notions différentes de complétude: sémantique, syntaxique ( il me semble qu'Hintikka l'appelle déductive) , descriptive, et même "hilbertienne" (Hintikka).

Mais là où je serais d'accord avec vous c'est qu'il y a des inconvénients à préciser "sémantique" à propos du Théorème de complétude
de la Logique du premier ordre puisque ce théorème démontre justement l' équivalence des deux points de vue. Cependant de nombreux auteurs emploient tout de même cette expression, et je me la suis permise pour les raisons évoquées ci-dessus.

Quant au point central qui est que "la notion de démontrabilité formelle ne coïncide pas avec la notion de vérité", c'est ce que dit Gödel lui-même et que disent énormément de ses commentateurs car ils se placent, à juste titre, dans un cadre plus général que celui de la théorie des modèles (dont vous m'avez d'ailleurs dit qu'elle est apparue plusieurs années après).

En effet, soyons sérieux, les entiers naturels (j'évite ici de parler de modèle donc de modèle standard) sont infiniment plus importants que les entiers non standard, qui sont plutôt des parasites dont on se serait bien passé; ce qui intéressait depuis des siècles s'était les propriétés des entiers naturels (je ne dit pas de IN car se croire obligé de donner un nom est déjà une forme de sacrilège: point de vue "Weylien", intéressant d'en reparler...), donc d'après la majorité des commentateurs ce qu'a montré Gödel c'est qu'aucune axiomatique ne permet de rendre compte de toutes les propriétés des naturels; le fait que ce soit dû à la présence d'autres modèles n'est pas l'aspect le plus important. Beaucoup plus importante est la question de l'"incomplétude descriptive". Jacques Bouveresse en a parlé dans ses cours au Collège de France sur Gödel, et je m'apprête à ce sujet à me plonger dans Hintikka mais aussi dans mes propres recherches.

Il y a aussi le contexte de la discussion sur la conjecture de Riemann. La plupart des intervenants sur ce forum ne savent même pas qu'il y a des modèles non standard de l'analyse, ou, du moins, ils n'imaginent même pas qu'on puisse s'interroger sur la validité de la conjecture de Riemann dans autre chose que l'analyse "classique"; alors, quand je lis des dizaines de fois "Si la conjecture est indécidable alors elle n'est ni vraie ni fausse" ou "Si la conjecture est indécidable on ne saura jamais si elle vraie ou fausse" en sachant très bien que celui qui écrit ça ne pense qu'au modèle standard et ne sait même pas qu'il en existe d'autres, je considère (toujours pour raisons pédagogiques, on ne se refait pas) que dans ce cas il faut corriger d'abord d'urgence l'erreur la plus grave (en retardant un peu la critique de leur vocabulaire) en leur disant que ce n'est pas parce que la conjecture n'est pas démontrable formellement à partir des axiomes usuels (et sa négation non plus), qu'elle n'est ni vraie ni fausse (dans le seul domaine auquel ils pensent) ni qu'on ne puisse pas savoir par d'autres moyens si elle est vraie ou fausse (dans ce même modèle). De ceci j'aimerais vous reparler à propos d'un autre chapitre des mathématiques (les probabilités et leur axiomatisation).

Quant à Platon j'en reparlerai bien volontiers aussi.

Bon, cher Médiat, moi qui pensait que vous apprécieriez l'effort pédagogique que j'avais fait, notamment en développant l'exemple sur Euclide...

Relisez le message de Nicolas, relisez le mien et dites moi si le mien, même s'il a des des imperfections, ne fait pas largement avancer la discussion, tout en se limitant volontairement dans son ambition.

J'attends maintenant avec impatience la réponse de Nicolas et la suite de la discussion!

Tiens, au moment de terminer ce message je reçois par la poste le livre que j'avais commandé, "Gödel: une révolution en mathématiques. Essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens" par André Delessert.

Je vous remercie en tout cas pour vos contributions qui m'ont déjà appris beaucoup, j'espère que nous pourrons prochainement dépasser les questions un peu "basiques" pour aborder les sujets plus intéressants.

Bien cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Je suis un peu chagriné par votre intervention, c'est la première fois que cela m'arrive et je crois que cela repose sur un malentendu, que j'espère réussir à dissiper. Je pense que vous avez oublié de replacer mon intervention dans son contexte et de la comparer avec tout le début de la discussion et en particulier avec le message de Nicolas.

Surtout ne le soyez, pour vous rassurer, si je n'avais pas répondu à Nicolas, c'est que j'ai été rébuté par l'ampleur de la tâche, tant il y a à redire. En tout état de cause, je ne m'en suis pris qu'à une seule phrase et uniquement pour des raisons de vocabulaire ; il se trouve que vous êtes tombé sur une de mes manies (si vous regardez le fichier sur l'arithmétique dont je vous ai déjà parlé, vous y trouverez des arguments similaires à propos de la conjecture de Goldbach.

- par ailleurs il peut sembler troublant pour des débutants en logique qu'on démontre à la fois complétude et incomplétude, d'où le souhait de faire savoir que les auteurs distinguent plusieurs notions différentes de complétude: sémantique, syntaxique ( il me semble qu'Hintikka l'appelle déductive) , descriptive, et même "hilbertienne" (Hintikka).

Hintikka est très particulier, et je n'est pas fini de l'étudier, mais en tout état de cause la complétude dont il est question dans "le théorème de complétude de Gödel" est la complétude de la logique du 1er ordre, et l'incomplétude dont il est question dans "le théorème d'incomplétude de Gödel" est l'incomplétude d'une famille de théories.

Quant au point central qui est que "la notion de démontrabilité formelle ne coïncide pas avec la notion de vérité", c'est ce que dit Gödel lui-même et que disent énormément de ses commentateurs car ils se placent, à juste titre, dans un cadre plus général que celui de la théorie des modèles (dont vous m'avez d'ailleurs dit qu'elle est apparue plusieurs années après).

Normal puisque Gödel était un platonicien fervent

En effet, soyons sérieux, les entiers naturels (j'évite ici de parler de modèle donc de modèle standard) sont infiniment plus importants que les entiers non standard, qui sont plutôt des parasites dont on se serait bien passé; ce qui intéressait depuis des siècles s'était les propriétés des entiers naturels (je ne dit pas de IN car se croire obligé de donner un nom est déjà une forme de sacrilège: point de vue "Weylien", intéressant d'en reparler...), donc d'après la majorité des commentateurs ce qu'a montré Gödel c'est qu'aucune axiomatique ne permet de rendre compte de toutes les propriétés des naturels; le fait que ce soit dû à la présence d'autres modèles n'est pas l'aspect le plus important. Beaucoup plus importante est la question de l'"incomplétude descriptive". Jacques Bouveresse en a parlé dans ses cours au Collège de France sur Gödel, et je m'apprête à ce sujet à me plonger dans Hintikka mais aussi dans mes propres recherches.

Je suis très chagriné de lire une phrase commençant pas "Soyons sérieux", puisque cela rend, ipso facto, "pas sérieuse" toute tentative de vous contredire, et même mes interventions précédents, je n'ai donc rien à ajouter, puisque je ne suis pas sérieux, dommage !

Pour conclure, je réaffirme haut et fort que l'expression "indécidable dans la théorie xxxx, mais vraie dans le modèle mmmm" ne permet pas d'interprétations fausses et n'oblige pas un platonicien à revenir sur ses convictions, et donc je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas la seule qui soit employée.

[invite234bc7a5]

Je suis très ennuyé que vous preniez ainsi mon expression "soyons sérieux" car je ne disais pas que vous n'êtes pas sérieux mais que "ce qui va suivre est sérieux". J'ai hésité à employer cette formule de style un peu hardie mais je ne pensais pas qu'un problème pouvait survenir pour si peu de chose. Décidément la vie est bien triste si même entre personnes de bonne volonté le dialogue est pratiquement impossible.

Vous remarquerez que les deux fois ou j'ai été impliqué dans une (toute petite) polémique, une fois avec gg0 et ici avec vous, ce n'est pas moins qui est commencé, j'ai juste essayé de me défendre le plus gentiment possible, ici il y a deux mots seulement que vous me reprochez sur plusieurs dizaines de lignes où j'ai fait des efforts de courtoisie.

Pour ma part comme je l'ai dit à gg0 j'évite de polémiquer car je sais qu'il est difficile d'exprimer sa pensée, qu'on ne peut pas l'exprimer d'un coup et qu'il faut beaucoup de temps pour cela, donc il faut être patient et faire un peu confiance à son interlocuteur.

Comment est-ce possible que pour deux mots seulement, que j'ai hésité à mettre mais ai trouvé ridicule d'avoir peur de mettre, la discussion puisse en arriver là?

Si je ne vous trouvais pas sérieux je ne vous aurais pas dit que j'ai appris beaucoup en discutant avec vous.

Je suis persuadé que nous sommes bien moins différents les uns des autres que nous le pensons et qu'à 95% nous pensons la même chose, le reste est difficulté de communication (et surtout manque de patience).

Je vais vous dire une chose: je suis joueur d' Echecs; il y a quelques jours le Grand Maître yougoslave Svetozar Gligoric est décédé; les commentateurs ont cité une de ses phrases: "Je joue contre les pièces", c'est à dire pas contre l'adversaire, pas contre l'homme.
Critiquer les idées de son interlocuteur n'est pas toujours productif, critiquer l'interlocuteur lui-même, pourquoi?

Je me réjouis des deux premiers tiers de votre message. Je retire les mots "soyons sérieux" du mien.

Pour ce qui est du souci du vocabulaire précis, l'ironie du sort est que je suis d'accord avec vous et que pendant la lecture de dizaines de messages sur le forum j'ai regretté que les intervenants ne précisent pas ce qu'ils entendaient par "vrai". Mais dans mon message à Nicolas le contexte était différent à mon avis, il y avait un certain nombre de mots à mettre en place avant d'arriver à parler de modèle. J'ai voulu lui dire de la démonstration formelle à partir d'axiomes n'est pas la seule manière d'arriver à une preuve. Comme il est difficile pour beaucoup de comprendre qu' indécidable ne veut pas dire qu'on ne peut rien savoir, j'ai essayé de faire franchir cette difficulté en prenant l'exemple d'Euclide, mais sans aller jusqu'à dire (dans un premier temps) qu'Euclide travaillait dans un modèle.

Pour tous sujets je suis ouvert à la discussion.

Attendons de voir ce que Nicolas va répondre.

A bientôt.

[invite234bc7a5]

Me voila dans la situation la plus absurde et l'une des plus tristes humainement que j'ai connues.

Alors que je viens pour la première fois sur un forum mathématique, animé des meilleures intentions, au bout de 4 jours seulement un des animateurs se déclare fâché définitivement contre moi, et m'accuse de plus d'être un insulteur qui déclare non sérieux tous ceux qui essayent de le contredire. Ceci pour deux mots (s'adressant d'ailleurs à la fois à celui qui parle et à son interlocuteur) extraits de leur contexte et auxquels on veut donner une intention et une signification qu'ils n'avaient pas.

Je vais donc expliquer les motivations scientifiques, et uniquement scientifiques, de mes interventions, même si malheureusement j'ai dû aussi répondre à des attaques que je n'avais jamais provoquées.

Je reviens donc sur le premier message que j'ai posté sur cette discussion (samedi 18 août 2012 00h14).

Ayant constaté le grand nombre de confusions figurant dans cette discussion et d'autres similaires ("conjecture de Goldbach indécidable" par exemple) je me suis dit que la principale source d'erreur, celle qu'il fallait corriger en premier pour espérer éliminer ensuite les autres, était due à un préjugé très répandu: celui consistant à croire qu'en mathématiques la seule méthode scientifiquement valable pour prouver un résultat quelconque était la démonstration formelle à partir d'un ensemble d'axiomes.

Il est évident que dans les sciences autres que mathématiques, les résultats sont obtenus généralement sans recourir à la méthode axiomatique et sont pourtant admis par l'ensemble des chercheurs. Mais depuis l'avènement des méthodes axiomatiques en mathématiques, s'est répandu dans le public l'idée que ces méthodes devenaient dans cette discipline les seules valables et devaient remplacer toutes les autres. C'est pourquoi, à mon avis, on trouve dans les forums quantité de croyances telles que "si une proposition est indécidable alors on ne peut plus rien savoir sur elle".

J'ai donc pris l'exemple de la démonstration par Euclide du fait qu'il existe une infinité de nombres premiers, démonstration non axiomatique mais reconnue unanimement comme scientifiquement valable. J'ai ensuite expliqué que même si certaines propositions (conjecture de Goldbach, Syracuse, nombres premiers jumeaux, Riemann...) s'avéraient indécidables, Euclide revenant parmi nous pourrait quand même (éventuellement), par des méthodes "à l'ancienne" ou des méthodes nouvelles jamais encore utilisées, prouver la vérité ou la fausseté de ces propositions, dans l'ensemble des entiers naturels pour les trois premières, dans celui des nombres complexes pour la dernière.

Ceci-dit, je suis entièrement d'accord avec Médiat sur le fait que la notion de modèle est idéale pour présenter correctement les choses, et que lorsqu'on parle de "vrai" ou de "faux" il convient de préciser dans quel modèle on se place.

Mais si l'on explique directement au grand public, ou à des lecteurs n'ayant pas encore suffisamment étudié ces questions, qu'une proposition peut être indécidable et en même temps vraie dans un modèle donné (ce qui, en Logique du premier ordre, entraîne d'après le Théorème de complétude de Gödel, qu'elle est fausse dans au moins un autre modèle), on risque de se heurter à un blocage psychologique empêchant la compréhension, en raison du préjugé dont j'ai parlé plus haut: croyant que la démonstration formelle à partir d'axiomes est la seule méthode de preuve valable en mathématiques, de nombreux lecteurs n'arriveront pas à comprendre qu'on puisse parler de "vraie" ou de "fausse" pour une proposition indécidable.

J'ai donc jugé indispensable de lever ce préjugé en rappelant la diversité des méthodes de preuve scientifique, y compris en Mathématiques.

Mon message partait par conséquent d'une réflexion sur l'origine psychologique la plus profonde, à mon avis, de très nombreuses erreurs et confusions que l'on trouve dans cette discussion et dans d'autres similaires.

Bien sûr cela ne terminait pas le travail d'explication, au contraire cela le commençait. Je comptais juste après (et d'autres allaient probablement le faire aussi) parler de la notion de modèle. Comme de plus mon message s'adressait d'abord à une personne précise (la seule présente puisque les contributions précédentes dataient de 2006) et nouvellement arrivée, j'attendais de voir sa première réaction, ne serait-ce que pour savoir dans quel ordre lui présenter les choses.

Sur ce, samedi matin, je reçois de Médiat un message assez virulent qui repose sur un malentendu dont j'ai maintenant compris l'origine. Il s'est mis en colère à propos de l'expression "elle est indécidable et vraie" dont il a cru qu'elle était de moi alors que je ne faisait que citer de la manière la plus précise le nom que le destinataire de mon message avait donné à ce qu'il appelait son "deuxième cas", pour être sûr de parler de la même chose (bien sûr je n'étais pas moi-même d'accord avec une telle expression).

Je suppose que Médiat n'avait pas lu ou pas compris la suite de mon message. Je lui suggère d'ailleurs amicalement (en espérant qu'il accepte à nouveau ce terme) de toujours lire les messages en entier avant de commencer à découper des extraits et à les commenter les uns après les autres.

Je veux bien admettre par ailleurs qu'on n'ait pas saisi mes motivations que j'explique ici mais qui ne figuraient pas dans mon message initial.

Concernant la réponse que j'ai faite samedi (12h32), j'étais fatigué, pris par le temps, j'ai quand même répondu cependant de manière courtoise et argumentée. J'ai laissé passer, peut-être par erreur, une figure de style pas vraiment méchante, dont je serais bien incapable de savoir pourquoi elle est venue sous ma plume plutôt qu'une autre. Ceci a déclenché la foudre qui s'est abattue sur ma tête.

J'espère que le dialogue pourra reprendre, car sa rupture me donne un profond d'injustice et de gâchis.

Je souhaite que Nicolas, s'il nous lit, ne sera pas découragé par cette brève polémique et n'hésitera pas à nous rejoindre.

Enfin l'utilité principale de ce message sera, je l'espère, de permettre à de nombreux lecteurs de lever certains doutes et incompréhensions et de leur permettre d'accéder à des explications plus techniques comme la Théorie des Modèles et les Théorèmes de Complétude et d'Incomplétude de Gödel.

[invite234bc7a5]

Pour être encore plus précis, dans le paragraphe commençant par "Mais si l'on explique directement au grand public..." je complète légèrement la fin: "...n'arriveront pas à comprendre qu'on puisse parler de "vraie" ou de "fausse" (dans un modèle donné) pour une proposition indécidable."
Mieux vaut être répétitif que de laisser subsister la moindre possibilité d'ambiguïté.

[invite234bc7a5]

Je rappelle par ailleurs qu' "indécidable" se dit d'une proposition qui n'est pas démontrable formellement à partir d' un système d'axiomes donné, et sa négation non plus. Cette notion est donc relative au choix des axiomes et il se peut qu'en changeant ceux-ci une proposition qui était indécidable ne le soit plus, c'est à dire qu'elle (ou sa négation) soit démontrable à partir des nouveaux axiomes.

Alors beaucoup pensent qu'on a forcément déjà choisi les "bons" axiomes et qu'on n'a pas été "maso" au point de choisir des axiomes avec lesquels certains résultats importants soient indécidables. Ce préjugé est à mon avis lui aussi un point de blocage psychologique fondamental. Il sera intéressant d'en reparler.

[leg]

Bonjour
au moins, cette explication à le mérite de nous éclairer sur la difficulté de ce théorème de complétude de Gödel.
d'ailleurs une de vos phrases, laisse planer encore plus de doute sur l'utilité de ce théorème...

pour ma part, gardons les entiers naturels et leur démonstration, à l'abri de ce théorème qui jusqu'à présent créait plus de problème que de solution, et n'a toujours pas permis pour ces anciennes conjecture que vous avez cités , la moindre solution.

car comme vous l'expliquez, je pense qu'Euclide va se retourner dans sa tombe, si on vient lui raconter que sa démonstration non axiomatique, sur l'infinité des premiers on veut bien admettre qu'elle est "vraie scientifiquement.... ou reconnue comme tel...")

pour ma part sa démo est vraie arithmétiquement dans les entiers naturels point barre....
si maintenant Gödel à envie de faire mousser la sauce et démontrer que dans un autre modèle elle est fausse grand bien lui fasse...

il en serra surement de même pour Syracuse , Goldbach, les premiers jumeaux et ou encore, l'infinité de premiers dans le polynôme n² +1...etc

Sur ce, je trouve que votre intervention ne porte à aucun moment sur une polémique, et qu'elle est très instructive, mais justement peut être du fait de l'intervention de Mediat, qui se fait l'avocat du diable et qui titille gentiment un peu

si je devais donner mon impression sur ce théorème, je dirai tout simplement que son utilité n'a d'égale que notre incapacité et incompétence, à démontrer une conjecture qu'elle soit dans les entiers naturels ou ailleurs comme pour HR. Tout comme: l'ignorance = le hasard, lorsque l'on ne sait pas expliquer un phénomène
Mais bien entendu, ce n'est que l'impression d'un profane en la matière.