Vect(u1...Un)

[max016p]

bonjour,
je cherche sur internet un pdf qui rassemble toutes les propriétés du vect() mais je ne trouve pas pouvez-vous me donner les principales propriété
du genre

vect(U₁,......,U_j,....,U_i,......,U_n)=??? avec i>j


merci d'avance
-----

[GrisBleu]

Bonjour

Si n est fini, c'est juste l'ensemble des combinaisons lineaires de tes n vecteurs. C'est un espace vectoriel dont une famille generatrice est (u1,...,un)
Sauf cas particulier, ta famille n'en est pas une base, et sa dimension est inferieure a n
Cdlt

[Rizmoth]

Bonjour,

Considérant u1,...un, comme n vecteurs d'un espace vectoriel quelconque E, on peut également définir Vect(u1,...un) :
- comme le plus petit sous-espace vectoriel contenant tous les u1, u2, ..., uN
- comme l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E qui contiennent u1, u2, ..., Un

Et effectivement, tout élément x qui appartient à Vect(u1, ..., un) peut s'écrire (de manière NON unique a priori) comme combinaison linéaire des vecteurs u1, ... , uN :
i.e : il existe n scalaires x1, x2, ... xN, tels que x = x1*u1 + x2*u2 + ... + xN*uN. (E)

Comme GrisBleu l'a écrit, cela fait de (u1, ..., uN) une famille génératrice de Vect(u1,...,uN). Deux cas de figures sont alors possibles :
- soit (u1, ..., uN) est libre : alors (u1,...,uN) forme une base de Vect(u1,...,uN), et sa dimension vaut n. La décomposition (E) de tout élément x du Vect est alors unique ;

- soit (u1, ..., uN) est liée : alors dans (u1,...uN) certains vecteurs sont "superflus", en ce qu'il peuvent eux-mêmes s'écrire comme CL des autres vecteurs, en conséquence il existe un plus petit kcompris entre 1 et N tel que Vect(u1,...,uN) = Vect(u1,...,uK). La dimension de Vect(u1,...,uN) est alors k < n.

Cordialement,

Rizmoth.

[max016p]

D'accord merci de ses précisions mais enfaite je voulais savoir si vect(U₁,U₂)=vect(U₂,U₁)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

On t'a rappelé plusieurs définitions, tu peux t'en servir pour savoir ... Tu as un cerveau, comme tout le monde, il est capable de comprendre le vocabulaire. par exemple de décider si une combinaison linéaire de U1 et U2 est une combinaison linéaire de U2 et U1.

Cordialement.

[Rizmoth]

par exemple de décider si une combinaison linéaire de U1 et U2 est une combinaison linéaire de U2 et U1.

Voilà. Ou bien de se demander si un espace vectoriel qui contient U1 et U2 contiendrait aussi, également, par pur hasard, U2 et U1...

Il y a des fois comme ça, où on a quand même l'impression de p*sser dans un violon...

Cordialement,

Rizmoth.

[joel_5632]

>> - comme le plus petit sous-espace vectoriel contenant tous les u1, u2, ..., uN

Il faudrait préciser