Permutation des points dans les birapports

[Karl_Navez]

Bonjour,

Je m'intéresse à la géométrie projective dans l'optique de comprendre comment reconstituer un objet d'après deux photos. J'ai trouvé ce texte : http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/Beneat.geom.pdf qui me donne satisfaction jusqu'à la page 11, où je ne comprends pas ce qui suit :

"Proposition 3.
Si A, B, C, D sont quatre points alignés,
[A, B, C, D] + [A, C, B, D] = 1."

Dans la mesure où je cherche à tout comprendre, je souhaite être capable de démontrer tout ce que je lis. Mais dans le cas de la proposition 3, je n'y arrive pas. Pourtant, je n'ai pas eu de problèmes avec les propositions précédentes que voilà :

"Proposition 2.
Si A, B, C, D sont quatre points alignés,
[C, D, A, B] = [A, B, C, D].
[B, A, C, D] = 1/[A, B, C, D].
[A, B, D, C] = idem."

Toute aide serait la bienvenue!

En vous remerciant par avance,

Karl
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[gg0]

Bonjour.

En utilisant la définition, transformée pour avoir une seule fraction, tu remarques que les dénominateurs sont exactement opposés, ce qui permet d'additionner. Puis tu décomposes le , tu factorises par , un coup de relation de Chasles, puis une nouvelle factorisation évidente ...

Cordialement.

[Karl_Navez]

Merci pour votre réponse, gg0.

Pour moi, mettre tout en une seule fraction revient à faire cela :

[A,B,C,D] + [A,C,B,D] = 1

(AC/AD) / (BC/BD) + (AB/AD) / (CB/CD) = 1

(AC/AD) . (BD/BC) + (AB/AD) . (CD/CB) = 1

(AC.BD) / (AD.BC) + (AB.CD) / (AD.CB) = 1

(AC.BD + AB.CD) / AD.BC = 1

En effet, je ne considère pas BC et CB comme différents, j'envisage juste leur longueur absolue (je raisonne comme si je mesurais la largeur d'une porte de 1 m de large : commencer la mesure par la droite ou par la gauche me donnerait toujours 1 m).

Cependant, votre remarque sur les dénominateurs exactement opposés (référence à BC et CB?) et votre mention de la relation de Chasles me fait penser qu'il faut traiter tout cela comme s'il s'agissait de vecteurs orientés.

Il semble donc que j'aie mal compris certains aspects. Serait-il possible de m'indiquer votre calcul dans le détail? Cela m'aiderait grandement.

Encore merci pour votre aide,

Karl

[gg0]

Il s'agit de mesures algébriques, donc il n'y a pas égalité et la relation de Chasles s'applique.

Sur un axe, un repérage ayant été choisi, . On voit facilement que les quotients de mesures algébriques ne dépendent pas du repérage choisi; ce sont les rapports des vecteurs correspondants :
Pour des points alignés A, B, C et D, si alors .

Cordialement.

NB : Il fut une époque où on faisait ça en seconde.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karl_Navez]

A vrai dire, la raison pour laquelle je pose mon problème dans le forum du niveau supérieur est que dans le forum du niveau collège, on ne trouve rien sur les birapports.
En revanche, concernant mon propre niveau, il n'est pas du supérieur. Ayant une formation littéraire, je n'ai plus fait de mathématiques depuis mon diplôme de l'enseignement secondaire, en 1998. De ce fait, j'admets avoir de sérieuses limites.

Si j'ai bien compris vos remarques, je peux considérer que CB = -BC, et à partir de là je peux écrire ce qui suit :

[FONT=arial, helvetica, sans-serif][A,B,C,D] + [A,C,B,D] = 1

(AC/AD) / (BC/BD) + (AB/AD) / (CB/CD) = 1[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif](AC/AD) . (BD/BC) + (AB/AD) . (CD/CB) = 1
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]Je décompose au maximum tous les vecteurs, de manière à me retrouver uniquement avec des vecteurs AB, BC et CD; par ailleurs, j'écris CB sous la forme -BC:[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif][(AB+BC)/(AB+BC+CD)] . [(BC+CD)/BC] + [AB/(AB+BC+CD)] . (CD/-BC) = 1[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif][(AB+BC) . (BC+CD)] / [(AB+BC+CD) . BC] - (AB.CD) / [(AB+BC+CD) . BC] = 1[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]Je fais passer le dénominateur du membre de gauche vers le membre de droite :[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif](AB+BC) . (BC+CD) - (AB.CD) = 1 . [(AB+BC+CD) . BC][/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]J'effectue les opérations sur le membre de droite et je repère des éléments à supprimer (en gras) :[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]AB.BC + AB.CD + BC.BC + BC.CD - AB.CD = (AB+BC+CD) . BC[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]Et je remarque que les deux membres de l'égalité peuvent s'écrire comme suit :[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]AD . BC = AD . BC[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]
[/FONT]
[FONT=arial, helvetica, sans-serif]L'égalité [A,B,C,D] + [A,C,B,D] = 1 est donc vérifiée par transformation.[/FONT]

[Karl_Navez]

Mon texte sera plus clair dans la pièce jointe en pdf.