Intégrale qui converge ?

[red17]

Bonsoir,

On définit la fonction f sur ]-1,1[ par
Le but est de montrer que la primitive de f qui s'annule en 0 admet une limite finie en 1 - qu'on notera F.

On remarquera que f est la dérivée de la fonction Arcsin.
Mais, on fera sans, c'est-à-dire qu'on utilisera pas le fait que f est la dérivée de l'Arcsin pour répondre au problème.

Voici ma démarche, on montre que F est continue sur [-1,1], on dit alors que F est majorée car continue sur un segment.
Or F est croissante, donc F converge en 1.
Mais je ne vois pas comment montrer la continuité en 1.
Sur ]-1,1[ c'est trivial, mais sur le segment [-1,1] je vois pas trop comment faire.

Le problème est donc le suivant :
Comment prouver que la fonction F est continue et définie sur [-1,1] alors que f est continue sur et définie seulement sur l'ouvert ]-1,1[
Outre le fait que F est la fonction Arcsin, je ne vois pas comment faire.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance.
Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas trop ce que tu racontes :
"on montre que F est continue sur [-1,1], " Ah bon ? Et comment ? D'ailleurs, si elle est continue c'est qu'elle a une limite en 1. Donc à moins que tu aies une raison que tu caches bien d'affirmer ça, il te fait montrer qu'il y a une limite en 1. La suite de ce que tu exposes semble montrer que tu aimerais bien prouver la continuité, mais que tu n'en as pas les moyens.
N'importe comment, F n'est pas définie en 1 ....

Tu peux effectivement justifier l'existence d'une limite en montrant que F est croissante et majorée, mais il va te falloir chercher une vraie raison à cette majoration. Donc trouver un moyen de majorer ...

Comme je ne sais pas quels sont les outils dont tu disposes dans tes cours, je ne sais trop quoi te conseiller (Changement de variable, règles de convergence d'intégrales, ...).

Cordialement.

[red17]

On a pas encore vu des règles de convergences d'une intégrale, mais je connais une propriété sur les intégrales impropres.

Quoi qu'il en soit, je pense à faire comme ça :

on résout cette inéquation sur [0,1] on trouve que t = 1.
Alors, pour tout on a :

donc sur [0,1[ :


Il vient que :


On obtient donc une majoration pour le semi-ouvert [0,1[
sur ce semi-ouvert, la fonction f définie par est croissante et majoré, donc d'après le théorème de la limite monotone :

il existe un réel L tel que





Et c'est là qu'on peut parler d'intégrale impropre :

[gg0]

Une autre voie possible :

Pour
et tu procèdes comme tu l'as fait. la limite étant en 1, la condition sur t ne pôse pas problème.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[red17]

Merci, pour cette autre idée.