Valeures propre d'un produit de matrice.

[Mikiisa]

Bonjour, je cherche à comprendre ce qui ne vas pas dans ma démonstration.

On a A et B deux matrice symétriques définies positives, on note leurs valeurs propre et que l'on range dans l'ordre croissant.

Je cherche à montrer que pour i compris entre 1 et n j'ai :



J'utilise le theoreme min-max que j'ai démontrer auparavant :

Soit une b.o.n de vecteurs propres pour B et
Alors je remarque que
j'utilise l'adjoint et le caractère symétrique ici.

enfin


J'obtient

Alors en passant au min max j'obtient le resultat. Mais il y a surement une erreur car je n'utilise nulle part le caractère définie positif de la matrice
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[Universus]

Bonjour,

En fait, si, vous utilisez la propriété que ces matrices sont définies positives lorsqu'au « enfin », vous écrivez



J'imagine que vous n'aviez que l'ordre des valeurs propres de B à l'esprit en écrivant cela, mais cet ordre ne suffit pas à expliquer cette inégalité.

Je vous invite donc à réfléchir à la bonne justification. Voici quelques indices, si vous ne voyez vraiment pas :

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1) L'inégalité se démontre pour des vecteurs x bien précis à l'égard de A (cela ne nécessite que la positivité de A, pas celle de B).
2) Si A et B sont définies positives, alors AB l'est aussi. En général, si A ou B ne l'était pas, AB ne le serait pas non plus.
3) AB étant définie positive, la fonction est une norme, qui vérifie en particulier l'inégalité du triangle.

Bon travail.

[Mikiisa]

Quand vous dites que çà ne suffit pas à conclure, vous voulez dire que je ne peux pas passer de cette inégalité à l'inégalité

?

Je ne vois pas très bien où vous voulez en venir mais je vais y reflechir, merci pour votre aide.

[Universus]

Je n'ai pas dit que l'inégalité que j'ai écrite n'était pas suffisante pour conclure la preuve : en effet, une fois qu'on a l'inégalité entre coefficients de Rayleigh, le théorème minimax permet de conclure.

Ce que je dis, c'est qu'en avouant que vous ne voyez pas où vous avez utilisé la positivité des matrices A et B, vous montrez que vous avez mal justifié l'inégalité que j'ai retranscrite dans mon précédent message. J'imagine que vous justifiez cette inégalité par l'ordre croissant des valeurs propres de B ; je prétends que cette justification est insuffisante et qu'elle nécessite aussi la positivité des matrices.

Après tout, si un des coefficients est négatif, alors (par positivité de B) et nous n'obtenons pas votre inégalité. Cette constatation est liée à la positivité de A, car si A avait une valeur propre négative, alors en prenant pour x un vecteur propre associé à cette valeur propre négative, nous aurions effectivement . Ainsi, pour que votre inégalité soit vraie, il est nécessaire que A soit positive.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mikiisa]

Ah oui

Non en fait je me doutait bien que la positivité était utiliser ici, mais je ne sais pas ce qui m'est passer par la tete je me suis persuader que ca marchait également si on avait un des coefficient dont vous parlez negatif...

Ce problème persiste si il y a une valeure nulle ? Je veux dire si A est seulement positive et non necessairement définie (on peut avoir (Ax,x)=0) ?

edit: En fait il ya une justification supplementaire à donner, il fat justifier que la positivité de A ((Ax,x)>0) entraine la positivité des (Ax, aibi) c'est là que vous vouliez en venir c'est ca ?

[Mikiisa]

Car on peut imaginer avoir (ABx,x) non nul mais (Ax,x) nulle vous voyez ?

[Universus]

Non en fait je me doutait bien que la positivité était utiliser ici, mais je ne sais pas ce qui m'est passer par la tete je me suis persuader que ca marchait également si on avait un des coefficient dont vous parlez negatif...

La suite d'indices que j'ai donnée conduit à votre égalité, donc oui ça fonctionne même si un des coefficients est négatif : si A et B sont positives, les termes négatifs ne contrebalancent pas trop.

Ce problème persiste si il y a une valeure nulle ? Je veux dire si A est seulement positive et non necessairement définie (on peut avoir (Ax,x)=0) ?

edit: En fait il ya une justification supplementaire à donner, il fat justifier que la positivité de A ((Ax,x)>0) entraine la positivité des (Ax, aibi) c'est là que vous vouliez en venir c'est ca ?

L'indice 1 fonctionne pour A semi-positive. Le problème est alors dans l'indice 2 et 3 : si A n'est que semi-positive, alors AB n'est que semi-positive et donc, dans 3, nous n'avons qu'une semi-norme. À vue de nez, l'inégalité tient encore, mais c'est limite.