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matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

  1. #1
    fifrelette

    matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    bonsoir
    j'ai essayer dans tous les sens mais je m'en sors pas
    soit une matrice de Mn(C): C= (ai/aj)i,j où les ai sont non nuls
    donc j'ai une matrice dont la diagonale est formée de 1 et le triangle sup par rapport à cette diagonale est l'inverse du triangle inf
    1) je montre que 0 est une valeur propre de l'endomorphisme u de Cn dont la matrice C par rapport à la base canonique B= (ei) de Cn en calculant le poly caracttéristique
    pu(0)=det (C-0 lambda)=0 ce que je vérifie et j'en conclue que 0 est une valeur propre
    2) Ensuite il faut chercher la dim du S.E propre relatif à 0 (soit la dim de ker u): je calcul dim (ker (c-0 lambda))=dim( ker c)= n- rang c
    je trouve que rang c= 1 donc dim (ker c) = n-1
    je ne suis pas sur de ce n-1
    si c'est juste il faut aussi que je trouve sa base de ker u???? là je suis perdue
    enfin cela devrait me permettre de calculer le polynome caractéristique que je m'attends à trouver de la forme xn-1(x- lambda) si mes résultats précèdents sont justes
    mais tout cela ne me semble pas coller.....
    qu'en pensez-vous?
    fifrelette

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Weierstrass

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    salut

    quel est le but de l'exo ? diagonaliser la matrice ?

    un vecteur du noyau est par exemple (1,-2,0,...,0)

  4. #3
    Weierstrass

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    on pourrait même en trouver une base (Vi) de n-1 vecteurs, en posant Vi=(1,0,...,-(i+1),...,0) où le (-i-1) se situe en i+1ème position.

    tout ce que tu as fait ètait juste, en tout cas tu n'es pas loin de la fin.

  5. #4
    fifrelette

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    bonjour
    merci pour ta réponse qui m'encourage
    l'énoncé est
    soit C= (ai/aj)i,jla matrice de Mn(C) où tous les aisont non nuls
    A) montrer que 0 est valeur propre de l'endomorphisme u de Cn dont la matrice est C par rapport à la base canonique B(ei) de Cn
    OK P(0)= 0
    B) déterminer la dim du S.E propre relatif à 0 i.e la dim de ker u et en trouver une base
    dim(ker u)=n-1 et si n=3 une base peut-être par exemple B= (u1,u2,u3) avec
    u1={(-a1(a2+a3)/(a2a3),1,1}
    u2= {-a1/a2, 1, 0}
    u3= {-a1/a3,0,1}
    C quel est le poly caractéristique de u
    Pu(x)= (-1)nxn-1(x-n)
    d) montrer que u est diagonalisable et trouver une base b' où la matrice de u est diagonale
    comme l'espace vectoriel associé à la valeur propre 0 est de dimension égale à son ordre de multiplicité , u est diagonalisable
    ensuite pour trouver la base il me manque le vecteur qui correspond à
    u(v)=nv c'est à dire le vecteur qui forme la base associé à la valeur propre n, j'y arrive pas du tout, je ne comprends pas, j'arrive à des
    x-x+by-by=0....????en faisant C-nId (x...xn)=0

  6. #5
    Weierstrass

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    Il y a plusieurs choses que je n'ai pas comprises :
    tes vecteurs formant une base du noyau me semblent bizarres, es tu sur qu'ils fonctionnent ?
    comment sais tu que n est racine du polynôme caractéristique ?
    il ne suffit pas que la dimension du noyau de l'espace propre associé soit de dimension égale à sa multiplicité, il faut que cela soit vrai pour chacune des racines !

    Enfin, pour trouver une matrice de passage, il te suffit de concaténer les vecteurs propres en une seule matrice.


    sinon désolé, dans mes posts d'avant il faut mettre "ai" à chaque fois qu'il y a "i".

  7. #6
    fifrelette

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    je viens seulement de lire ta réponse
    merci mais là je dois me coucher et demain je pars pour 10 jours,
    j'espère qu'on pourra reprendre cet échange alors
    bonne nuit
    fifrelette

  8. #7
    kreolito

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    Bonsoir. Fifrelette et à toutes et à tous.
    Comment fais-tu pour trouver ce polynome caracteristique de ton message du
    21/2/10 sur p(x)=(-1)^n.x^(n-1).(x-n) ? c=(ai/aj) matrice de M(C)
    Merci de ta réponse ou aux autres.

  9. #8
    fifrelette

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    bonsoir
    en fait je ne suis pas sur du (-1) n
    par contre comme l'espace propre associé à la valeur propre 0 est de dimension n-1
    et d'autre part la somme des valeur propre est égale à n on sait que l'autre valeur propre est n
    donc le polynôme est xn-1(x-n)
    voilà
    fifrelette

  10. #9
    kreolito

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    Bonjour Fifrelette
    Merci pour ta réponse. Moi aussi j' arrive à x^(n-1) (x-n).

  11. #10
    God's Breath

    Re : matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

    Tout dépend de votre définition du polynôme caractéristique :
    – avec det(A-xI), le coefficient dominant est (-1)^n ;
    – avec det(xI-A), le polynôme est unitaire.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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