Sous groupes normaux et commutativité

**FAN FAN** · 17/05/2015, 10h42

Bonjour,

Je me pose la question suivante:
Est-ce que les deux affirmations suivantes sont vraies ?
1. Deux sous-groupes d'un même groupe qui commutent, alors l'un au moins est normal.
2. n sous-groupes d'un même groupe qui commutent (*), alors n-1 au moins sont normaux.
(*): ou faut-il dire "qui commutent deux à deux" ?

Cela me semble vrai mais j'ai des difficultés à le démontrer (ou à trouver un contre-exemple).
Merci pour réponses.

**Seirios** · 17/05/2015, 10h51

Bonjour,

Les sous-groupes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ du produit libre $\text{[math]}$ commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

**FAN FAN** · 17/05/2015, 14h40

Envoyé par Seirios

Bonjour,

Les sous-groupes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ du produit libre $\text{[math]}$ commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

Merci. Je connais mal la notion de produit libre, je vais l'étudier.

Autre question:
Les réciproques de mes deux affirmations (fausses car contre-exemple) sont-elles vraies ?
Réciproque de 1. : Soient deux sous-groupes d'un même groupe dont l'un au moins est normal, alors ces deux sous-groupes commutent.
Réciproque de 2. : Soient n sous-groupes d'un même groupe dont n-1 au moins sont normaux, alors ces sous-groupes commutent.

Merci pour réponse et pardon si ces questions n'étaient pas pertinentes.

**Seirios** · 17/05/2015, 22h48

Si tu prends un produit semi-direct $\text{[math]}$ (désolé pour la notation, mais \rtimes ne fonctionne pas sur le forum), alors $\text{[math]}$ est un sous-groupe distingué, mais $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne commutent que si le produit est en fait un produit direct. Donc tu peux trouver beaucoup de contre-exemples de cette manière.

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**FAN FAN** · 19/05/2015, 10h26

Envoyé par Seirios

Si tu prends un produit semi-direct $\text{[math]}$ (désolé pour la notation, mais \rtimes ne fonctionne pas sur le forum), alors $\text{[math]}$ est un sous-groupe distingué, mais $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne commutent que si le produit est en fait un produit direct. Donc tu peux trouver beaucoup de contre-exemples de cette manière.

Merci beaucoup pour votre réponse.
Cette réponse m'interpelle car elle semble en contradiction avec un théorème d'un cours sur les groupes que j'ai suivi il y a quelques années :

Proposition de ce cours:
"Soient H₁ et H₂ deux sous-groupes d'un groupe G. Alors on a <H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2} dès que l'un au moins des deux groupes H₁ ou H₂ est normal dans G".

Comme rien ne distingue H₁ et H₂ dans cette proposition, on peut permuter a₁ et a₂ dans l'expression:<H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2}
et donc les deux sous-groupes sont permutables ?! ...

**FAN FAN** · 19/05/2015, 10h38

Envoyé par FAN FAN

Merci beaucoup pour votre réponse.
Cette réponse m'interpelle car elle semble en contradiction avec un théorème d'un cours sur les groupes que j'ai suivi il y a quelques années :

Proposition de ce cours:
"Soient H₁ et H₂ deux sous-groupes d'un groupe G. Alors on a <H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2} dès que l'un au moins des deux groupes H₁ ou H₂ est normal dans G".

Comme rien ne distingue H₁ et H₂ dans cette proposition, on peut permuter a₁ et a₂ dans l'expression:<H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2}
et donc les deux sous-groupes sont permutables ?! ...

Complément:
On a H₁H₂ = H₂H₁ mais pas nécessairement H₁H₂ normal dans G.

**Seirios** · 19/05/2015, 22h35

Il faudrait préciser ce que tu entends par "sous-groupes qui commutent". Je l'ai compris comme " $\text{[math]}$ pour tous $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ", alors que tu sembles plutôt considérer " $\text{[math]}$ ".

**FAN FAN** · 20/05/2015, 08h09

Envoyé par Seirios

Il faudrait préciser ce que tu entends par "sous-groupes qui commutent". Je l'ai compris comme " $\text{[math]}$ pour tous $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ", alors que tu sembles plutôt considérer " $\text{[math]}$ ".

Je considère la commutativité globale c'est à dire " $\text{[math]}$ " et non pas la commutativité élément par élément.

Je cite également le théorème suivant:
"Pour que le produit AB de deux sous-groupes A et B d'un groupe G soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit que A et B soient permutables" - Théorie des groupes de Paul Dubreil, page 24.

**Seirios** · 20/05/2015, 10h17

D'accord, donc le contre-exemple que j'ai donné en #2 reste pertinent, et il est effectivement vrai que si l'un des deux sous-groupes $\text{[math]}$ est normal, disons $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . En effet, pour tous $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , ce qui montre $\text{[math]}$ ; l'autre inclusion se montre de manière symétrique.

Ensuite, pour ta question :

Réciproque de 2. : Soient n sous-groupes d'un même groupe dont n-1 au moins sont normaux, alors ces sous-groupes commutent.

quelle est ta définition de n sous-groupes qui commutent ? Souhaites-tu qu'ils commutents deux à deux ou bien qu'ils commutent "globalement" ?

**FAN FAN** · 20/05/2015, 16h43

Envoyé par Seirios

D'accord, donc le contre-exemple que j'ai donné en #2 reste pertinent, et il est effectivement vrai que si l'un des deux sous-groupes $\text{[math]}$ est normal, disons $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . En effet, pour tous $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , ce qui montre $\text{[math]}$ ; l'autre inclusion se montre de manière symétrique.

Ensuite, pour ta question :

quelle est ta définition de n sous-groupes qui commutent ? Souhaites-tu qu'ils commutents deux à deux ou bien qu'ils commutent "globalement" ?

Ma df de sous-groupes qui commutent:
Soient H₁,...,H_n, n sous-groupes d'un groupe G, alors "ils commutent" est équivalent à H₁...H_n = H_s(1)...H_s(n) pour toute permutation s de {1,...,n}. C'est à dire ordre indifférent.
(En précisant que H₁...H_n := {a₁...a_n ; a_i€H_i}).

J'affirme alors (mais je n'en suis pas sûr):
Si cette commutation a lieu, il y a au moins n-1 sous-groupes qui sont normaux dans G (1er post de la discussion).
Le 3e post de la discussion est la question de la réciproque.

**Seirios** · 20/05/2015, 19h56

Pour ta première question, mon message #2 donne un contre-exemple pour n=2. Pour la réciproque, le même raisonnement qu'au message #9 montre que si, parmi n sous-groupes, alors n-1 sont distingués, alors ils commutent. Par exemple, pour trois sous-groupes $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ pour tous $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Après, il faut faire un petit effort de rédaction pour écrire une preuve qui tient la route.

**FAN FAN** · 24/05/2015, 15h30

Envoyé par Seirios

Pour ta première question, mon message #2 donne un contre-exemple pour n=2. Pour la réciproque, le même raisonnement qu'au message #9 montre que si, parmi n sous-groupes, alors n-1 sont distingués, alors ils commutent. Par exemple, pour trois sous-groupes $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ pour tous $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Après, il faut faire un petit effort de rédaction pour écrire une preuve qui tient la route.

Merci pour toutes ces précisions.
Je ne suis pas très familier avec la notion de groupe libre. Après avoir fait des recherches sur Internet, je ne comprends pas bien comment la combinaison réduite des éléments de "l'ensemble base" du groupe, à priori extérieur au groupe, s'insère dans le groupe...? Je peux comprendre seulement si l'ensemble base est un sous-groupe.
Peux-tu me donner quelques liens expliquant bien cette notion ?

**Seirios** · 24/05/2015, 19h39

Un exemple plus simple : Soient $\text{[math]}$ deux groupes et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ deux sous-groupes qui ne sont pas distingués. Alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux sous-groupes de $\text{[math]}$ qui commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

**FAN FAN** · 24/05/2015, 21h57

Envoyé par Seirios

Un exemple plus simple : Soient $\text{[math]}$ deux groupes et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ deux sous-groupes qui ne sont pas distingués. Alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux sous-groupes de $\text{[math]}$ qui commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

En quoi ta réponse ci-dessus est-elle liée à la notion de groupe libre ? Je ne fais pas le rapprochement...

**Seirios** · 24/05/2015, 22h28

En aucune façon : j'ai simplement donné un exemple pouvant remplacer mon message #2 et n'utilisant pas la notion de produit libre.

Sous groupes normaux et commutativité

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Re : Sous groupes normaux et commutativité

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