Distances topologiquement équivalentes

[Hybrya]

Bonjour !
Je suis en train de lire un cours de topologie, et je viens de revenir sur une notion que je crois ne pas avoir bien cerné: l'équivalence topologique de deux distances (notons-les d et d')
Si d et d' sont topologiquement équivalentes, c'est qu'elles définissent la même topologie, i.e. que toute partie ouverte d'un ensemble (E,d) est une partie ouverte de (E,d') et réciproquement. Mais alors, comme toute boule ouverte est ouverte, ne suffit-il pas de démontrer que toute boule ouverte B(x,r) = B'(x,r) (boules correspondant respectivement a la distance d et d') ?

Merci de vos réponses. J'aimerais aussi si possible avoir une démonstration de l'équivalence topologique de deux distances sans passer par le caractère homéomorphique de l'identité =)
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[gg0]

Bonjour.

Un exemple de distances topologiquement équivalentes, sur :



Regarde comment sont faites les boules pour d'.

Tu peux montrer qu'elles sont topologiquement équivalentes avec la définition, c'est un bon exercice (de topologie et de géométrie)

Cordialement.

[Schrodies-cat]

Tu peux prendre aussi :

Pour visualiser la chose, c'est la distance que doit parcourir un taxi new-yorkais pour aller d'un bloc à l'autre en passant par les rues et les avenues (ce qui est recommandé).

D'autres exemples, sur les différentes notions d'équivalence entre distance ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/équivalence_des_distances

[Hybrya]

Merci a vous deux. Schrodies, j'avais déjà lu cet article et il a soulevé une question: le fait que deux distances soient équivalentes (il existe a,b>0 tels que ad<d'<bd) n'implique-t-il pas qu'elles soient topologiquement équivalente ? Il me semble que si mais je n'ai rien trouvé qui le souligne sur internet.
Ensuite, j'aimerais savoir comment prouver l'équivalence topologique sur R+* entre la distance usuelle et celle définie par d(x,y) = |1/x - 1/y|. J'ai essayé longtemps sans y arriver =/

[A voir en vidéo sur Futura]

[Schrodies-cat]

Ensuite, j'aimerais savoir comment prouver l'équivalence topologique sur R+* entre la distance usuelle et celle définie par d(x,y) = |1/x - 1/y|. J'ai essayé longtemps sans y arriver =/

On peut passer par la définition d'une topologie définie par une distance: que signifie être un ouvert de R+* pour la distance usuelle et pour la distance d(x,y) = |1/x - 1/y| ; montrer que tout ouvert pour la distance d est un ouvert pour la distance usuelle et inversement.
Edition: plutôt qu' en termes d'ouverts tu peux raisonner termes de voisinages.

Merci a vous deux. Schrodies, j'avais déjà lu cet article et il a soulevé une question: le fait que deux distances soient équivalentes (il existe a,b>0 tels que ad<d'<bd) n'implique-t-il pas qu'elles soient topologiquement équivalente ? Il me semble que si mais je n'ai rien trouvé qui le souligne sur internet.

C'est la notion qui est appelée Lipschitz-équivalence dans l'article de Wikipédia.
Dans ton exemple que j'ai cité en premier les distances sont topologiquement équivalentes mais pas Lipschitz équivalentes (démontre le), ce qui complique peu les choses.
Pour démontrer que deux distances Lipschitz-équivalentes sont topologiquement équivalentes, même punition que plus haut ...