distances équivalentes

[dalida1111]

Bonjour
je suis bloquée pour faire l exercice suivant ( il est facile?!!au fait je cherche des réponses avec des explications précises ):

soit un espace muni d une distance :dist: X*X -> R+

montrer que si f de R+ vers R+ est une fonction croissante telle que : f(x+y)<= f(x)+f(y)
dist(x,y)=f(dist(x,y)) est une distance sur X


réponses:
premier point : je dois montrer que si dist(x,y)=0<=> x=y
j'ai :
dist(x ,y)=0 <=>f(dist(x,y)) =0 <=> f^(-1)0 f(dist(x,y))=f^(-1) (0) ( je suis bloquée ici )

deuxième point : il faut montrer que : dist(x,y)=dist(y,x) (mais comment ?!)

troisième point à montrer :
d après l ingégalité triangulaire : dist(x,z)<= dist(x,y)+dist(y,z)
c à d : f(dist(x,z))<= f (dist(x,y)+dist(y,z)) ( comme f est croissante)
comme : f (dist(x,y)+dist(y,z)) <=f(dist(x,y) ) + f(dist(y,z)) ( d après f(x+y)<= f(x)+f(y) )
alors l inègalité triangulaire est vérifiée

par la suite : je dois montrer que dist et f(dist ) sont equivalentes
si il existe une constante C telle que C>0
C(^-1) x<= f(x) <=Cx
(
merci d avance de m avoir aidée pour les deux premiers points
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[Tryss]

Tes hypothèses ne sont pas bonnes.

Si tes hypothèses sur f sont :
1) f est une fonction croissante de R+ dans R+
2) f vérifie f(x+y)<= f(x)+f(y)

alors les deux fonctions suivantes vérifient les hypothèses, mais ne définissent pas une distance :
a) f(x) = 0. On a bien f croissante de R+ dans R+, et f(x+y) = 0 <= 0+0 = f(x)+f(y). Mais on n'a pas dist(x,y)=0 => x=y
b) f(x) = x+1. On a bien f croissante de R+ dans R+, et f(x+y) = x+y+1 <= x+y+2 = f(x)+f(y). Mais on n'a pas x=y => dist(x,y)=0

[dalida1111]

Tes hypothèses ne sont pas bonnes.



b) f(x) = x+1. On a bien f croissante de R+ dans R+, et f(x+y) = x+y+1 <= x+y+2 = f(x)+f(y). Mais on n'a pas x=y => dist(x,y)=0

je n 'ai pas bien compris pour f(x)=x+1
merci infiniment de m avoir répondue

[dalida1111]

je ne vois pas bien la réponse ):

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

si je note d la distance de base, et f(t)=t+1, alors on a :

x=y implique que d(x,y) = 0 (car d est une distance)
et d(x,y) = 0 implique que dist(x,y) = f(d(x,y)) = f(0) = 1

Or, comme 1 est différent de 0, dist n'est pas une distance

Est ce que tu es sur d'avoir bien noté les hypothèses ?

[dalida1111]

est ce que c est par définition f(t)=t+1 ? ( je n ai pas compris ce point !!)
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00043.pdf c est le lien , c'est le dernier exercice question 1
merci

[dalida1111]

. Soit (X,d) un espace metrique et f : [0,∞) → [0,∞) une fonction continue et croissante, telle
que f(x) = 0 si et seulement si x = 0. Supposons que f est sous-additive, c’est-`a-dire que f(x + y) ≤
f(x) + f(y). Montrez que d1(x,y) = f(d(x,y)) est une distance sur X. Est-elle ´equivalente `a d?