Groupe de Lie et exponentielles de générateurs simples

[silk78]

Bonjour,

J'ai une petite question à propos de groupes de Lie. On considère un groupe de Lie semi-simple G, simplement connexe, d'algèbre g. Soient α₁, ..., α_l ses racines simples et E₁, ..., E_l les générateurs positifs associés dans l'algèbre g (plus précisément dans la sous-algèbre nilpotente n₊).

Si on considère un élément u du groupe nilpotent N₊ quelconque, peut-on toujours l'écrire comme un produit d'exponentielle de la forme :
u = exp(c₁E_i1) ... exp(c_nE_in)
avec c₁, ..., c_n des constantes ?

J'ai fait des tests explicites sur sl₃ (avec deux racines) et ça a l'air de fonctionner (le plus souvent 3 exponentielles suffisent, pour certains cas particuliers, il en faut 4), mais j'ai du mal à trouver une démo générale (si elle existe). Si une telle forme est toujours possible, est-ce qu'il existe un algo pour la trouver ?

Merci d'avance,
Silk
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[Universus]

Bonjour,

Votre question m'intéresse et m'intrigue, car je ne sais pas quelle est cette algèbre nilpotente et quel est le groupe nilpotent auxquels vous référez.

Il me semble que les racines simples d'un système de racines forment une base de l'algèbre de Lie et que cette algèbre, étant semi-simple, n'admet pas d'idéaux nilpotents propres. Je ne vois ainsi pas où chercher pour des candidats à ces concepts...

Ceci dit, de façon générale, lorsque nous avons un sous-groupe de Lie , alors l'application exponentielle se restreint à l'application exponentielle . Ainsi, pour autant que cette dernière application soit surjective (ce qui se produit par exemple si H est compact, ce qui n'est cependant pas assuré ici), alors l'écriture que vous recherchez existe. Si G n'est pas compact, alors il n'y a pas de raison évidente pour que H soit compact (évidemment dans les cas où il est fermé) ; les groupes ne sont pas compacts et il s'avère que les applications exponentielles ne sont pas surjectives.

[silk78]

Bonjour,

n₊ est l'algèbre engendrée par les générateurs E₁, ..., E_l. Il s'agit bien d'une sous-algèbre nilpotente de g : pas de contradiction avec la semi-simplicité de g car n₊ n'est pas un idéal de g.
n₊ apparait dans l'étude de la structure des algèbres semi-simple, notamment avec les bases de Cartan-Weyl.

Pour revenir sur la question initiale : l'application exponentielle est surjective de la sous-algèbre n₊ au sous-groupe (simplement connexe) associé N₊ (c'est ce qu'on appelle, il me semble, les coordonnées canoniques de premier type).
Ici, j'ai l'impression que ce résultat ne suffit par pour conclure : je ne cherche pas à écrire tout élément comme une exponentielle quelconque mais plutôt comme le produit de certaines exponentielles avec une forme particulière.

[Universus]

Bonjour,

n₊ est l'algèbre engendrée par les générateurs E₁, ..., E_l. Il s'agit bien d'une sous-algèbre nilpotente de g : pas de contradiction avec la semi-simplicité de g car n₊ n'est pas un idéal de g.
n₊ apparait dans l'étude de la structure des algèbres semi-simple, notamment avec les bases de Cartan-Weyl.

Je me doutais bien qu'il s'agissait d'une sous-algèbre, mais pas d'un idéal. Je ne sais tout bonnement pas qui sont ces « générateurs positifs ».

Pour revenir sur la question initiale : l'application exponentielle est surjective de la sous-algèbre n₊ au sous-groupe (simplement connexe) associé N₊ (c'est ce qu'on appelle, il me semble, les coordonnées canoniques de premier type). Ici, j'ai l'impression que ce résultat ne suffit par pour conclure : je ne cherche pas à écrire tout élément comme une exponentielle quelconque mais plutôt comme le produit de certaines exponentielles avec une forme particulière.

En vous répondant, j'avais quelque chose d'autre à l'esprit, mais je me rends compte que cette démarche n'aboutit pas vraiment à ce résultat. Pour l'instant, je ne sais donc pas. Ceci dit, j'ai l'impression qu'un tel résultat a une teneur générale, d'autant plus que je pense l'avoir vu récemment quelque part...

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