Tirage aléatoire avec remise

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

je souhaiterais savoir si certains d'entre vous ont la réponse. J'ai tenté de me lancer dans le calcul, mais j'éprouve quelques difficultés, je dois être un peu rouillé.

On considère un ensemble à n éléments muni d'une équiprobabilité de tirage de chaque élément.
Je souhaiterai savoir, en moyenne au bout de combien de tirages avec remise, tire-t-on pour la première fois un élément que l'on a déjà tiré avant?

Si l'on note X le premier tirage donnant un doublon, a-t-on bien ?

Merci, RoBeRTo-BeNDeR.
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[danyvio]

Je n'ai peut-être pas saisi tout l'énoncé, mais il me semble que, concernant un tirage avec remise, le fait qu'on ait déjà tiré un élément avant ne change rien.

[Dynamix]

Salut
_Au premier tirage la probabilité est nulle
_Au second tirage elle est égale à 1/n
_....
_La probabilité tend vers 1 quand n croit indéfiniment

[Johanneddy]

Je noterais X le rang d'apparition du premier doublon.
X prend ses valeur dans {2,3....,n}
Je noterais ek l'événement: le k- eme élément est différent des précédents , et je passerai par la formule des probabilite composées . En disant que p(X=k)= P(e1ne2n...n ek-1 n ek bar)

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

J'ai pu vérifier mon résultat en calculant l'espérance d'apparition du premier doublon et çà fonctionne très bien.

Attention, au bout de n+1 tirage la probabilité est 1.

Merci pour vos réponses, désolé de réagir si tard, mais je n'ai pas été mis au courant de vos réponses par mail... bizarre...

RoBeRTo-BeNDeR

[Boumako]

Bonjour

Si il y a n éléments au second tirage la probabilité de tirer un élément déjà tiré est de 1/(n-1), au 3eme tirage 2/n-1 etc. Au n ième tirage la probabilité atteint n-1/n-1 = 1

[Boumako]

Attention, au bout de n+1 tirage la probabilité est 1.

Non, il y a n-1 éléments restants si tu en tire un.

[Amanuensis]

Il y a un problème de définition. Si X est le rang du premier tirage donnant un doublon la probabilité de X=k est nulle si k>n+1.

La formule donnée dans le message #1 est celle de la probabilité que X=k, pour k>0 et k<n+2. (Pour k=n+1, on a n!/n^n , qui est le rapport entre n! arrangements de n valeurs et n^n tirages possible, la situation avant le dernier tirage; le dernier tirage donne nécessairement un doublon.)

[RoBeRTo-BeNDeR]

Il y a deux choses à calculer pour avoir P(X=k) pour n éléments.

Bon déjà on remarque que P(X=0)=P(X=1)=0.

On prend

Ensuite, on calcule . Pour y arriver, parmi k-1 tirages, il n'y a jamais eu 2 fois la même carte, il faut donc choisir k-1 éléments parmi les n, en tenant compte de l'ordre de tirage, cela donnera les tirages qui conviennent, il y a en donc , pour tirages distincts. On a donc .

Là maintenant, #Boumako, intervient ce que tu citais au message #6, mais avec une petite erreur, le calcul de . On a cet événement que si l'on tire un élément déjà tombé, on a donc k-1 choix pour nos n éléments donc .

On en déduit que .

Effectivement pour k>n, P(X=k)=0.

Pour les pros du développement asymptotique, arriveriez-vous à me donner le premier élément (qui semble être en racine de n) de la somme :



RoBeRTo BeNDeR

[Amanuensis]

Effectivement pour k>n, P(X=k)=0.

Pour k>n+1. (P(X=n+1) n'est pas nul.)

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci ! Petite étourderie -_-''