proba tirage avec remise

[invite73542c6f]

Bonjour,

je cherche la méthode de calcul de probabilité pour un tirage avec remise.

Voici mon problème, j'ai un ensemble de lettres. Ces lettres me permettent de faire des mots, tous les mots sont de longueur identique.
Si je place mes mots dans une grille, je cherche à calculer la probabilité d'apparition de l'ensemble des lettres contenues dans chaque colonne. Dans une colonne il peut y avoir l'apparition de plusieurs fois la même lettre.

Cela ressemble, si je ne me suis pas trompé, à un calcul pour un tirage avec remise. Je ne trouve pas la méthode sur le Net pour effectuer ce genre de calcul, uniquement pour le cas ou il y aurait apparition d'un seul ensemble de lettre, or pour mon cas, il peut y en avoir plusieurs.

Pouvez vous m'indiquer une solution ?

Merci.
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[lapin savant]

Salut,
tu tires k symboles parmi n dans une liste, avec remise. Par exemple, tu tires aléatoirement 5 lettres (longueur des mots) parmi les 26 de l'alphabet (avec remise).
Le nombre de tirages différents possible est le nombre :

c'est à dire qu'à chaque fois (sur les k), tu as n issues possibles. Dans notre exemple :

(graaaaannnnd !). A chaque lettre tirée, tu as le "choix" entre 26 lettres (tirage avec remise), et chaque pioche est indépendante de la précédente.

Du coup, la probabilité d'apparition d'une configuration parmi cet (immense !) ensemble est :

si l'on suppose une répartition des mots uniforme.

[invite73542c6f]

merci pour cette première réponse, mais, car il y a un mais.

Si l'on prend pas exemple cet tableau :

ABCDE
ACDBE
BDCEA

Comme je le disais dans ma quastion, sur chaque ligne, il y a bien une occurence de chaque lettre {A,B,C,D,E}, par contre en colonne, il peut y avoir deux fois A comme sur la première colonne, ou que des lettres différentes comme sur la seconde colonne.
Ce qui m'intéresse, c'est la probabilité d'obtenir chacune des colonne, sachant que cette probabilité n'est pas identique. Je suppose que ce n'est pas la même proba d'avoir 3A, que d'avoir toutes les lettres différentes.

De plus, j'avais trouvé une formule, pour les cas ou il y ait plusieurs occurence d'une lettre, or je dois traiter des exemples comme ceci :

ABCDE
ACBDE
BCDEA
CBEDA
BEACD
ou l'on voit que sur la première colonne, il y a 2A et 2B.

Merci beaucoup.

[lapin savant]

Ok, mais il fallait préciser ces contraintes, qui, comme tu le penses justement, influent sur la probabilité.
En effet, dans l'exemple que tu donnes :
AAA et ABC n'ont pas la même probabilité (je met en ligne pour la lisibilité).
et

Comme tu peux le voir, le fait d'imposer la contrainte 1 occurence par ligne revient à faire un tirage sans remise pour les lignes.
Si tu ne fixes pas le nombre d'occurrence pour les colonnes, alors la résolution est très simple : tu effectues ligne à ligne un tirage sans remise.
Le nombre de possibilités est alors

car tu considères que le mot ABC est différent de ACB (choisis parmi A,B,C,D,E). D'où

pour chaque ligne si tu choisis des mots de taille k<n (ex : 3 lettres parmi A,B,C,D,E).
Sinon :

car tu choisis toutes les lettres dans la liste (ex : mots de 5 lettres parmi A,B,C,D,E).

Si par contre tu imposes (en plus) un nombre m d'occurrences d'une même lettre par colonne, cela se complique pas mal : les tirages d'une ligne à l'autre ne sont bien évidemment plus indépendants...
A réfléchir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite73542c6f]

Merci pour ces propositions. JE vais à nouveau décrire le problème, cette fois-ci je vais essayer d'être exhaustif :

On travaille sur un ensemble de lettres. Par exemple {A,B,C,D,E,F}.

Avec ces lettres je dois constituer des mots contiennent OBLIGATOIREMENT toutes les lettres. Par exemple le mot ABDEFC.

Le nombre de mots peut être quelconque, ilne dépend pas du nombre de lettres. Par exemple, on peut constituer l'ensemble de mots :
ABCDEF
DBCEAF
BCEDFA
FDCEAB
EFDCBA
FBCADE
EFBCDA
CDEBAF

Donc, je cherche la probabilité d'obtenir la colonne. Donc, pour la première colonne, l'ordre des lettres n'apas d'importance, cela donne [ABCDEEFF].
Comme on peut le voir, il peut y avoir (ou pas) répétition de lettres dans une colonne (si le nombre de ligne est inférieur ou égal au nombre de lettre, il peut peut ne pas y avoir de répétitions).
Si on regarde uniquement les colonnes, cela s'apparente à un tirage avec remise. La proba en ligne ne m'intéresse pas.

[lapin savant]

Ok.
Du coup c'est vachement plus vicieux, mais le principe reste (à peu près) le même.
Il ne faut pas te désintéresser de la proba ligne, regarde :
- on recherche la proba d'apparition d'une configuration donnée pour une colonne : comme tu l'as dit, cela revient à un tirage avec remise.
- mais ces colonnes (non contraintes) sont formées par la construction des mots (contraintes) : la proba de tomber sur une configuration donnée pour une colonne est liée à celle de tirer certains mots parmi l'ensemble de tous les mots possibles.

On introduit quelques notations :
on forme des mots de longueur par tirage aléatoire, sans remise, dans un alphabet de symboles.
Puis on construit une liste de mots ainsi formés, pris dans l'ensemble de tous les mots possibles.
Il y a
mots possibles
Les tirages de mots sont supposés indépendants et avec remise (si tu veux pas, dit-le). A chaque tirage, il y a donc une probabilité de prendre un mot donné.

On en vient aux colonnes : une configuration de la colonne est déterminée par les lettres situées à la position de chacun des mots.
Il ne manque plus que la probabilité qu'une lettre donnée figure en position d'un mot :
par construction, mots conviennent dans la liste pour une position, donc est la probabilité d'avoir la lettre en position dans le mot M.

Alors :
pour chaque mot,
donc à l'issue de tirages de mots indépendants :

est la probabilité de tirer la colonne C.

Exemple :
, , alphabet={A,B,C}
Mots possibles = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
L = {ABC,CAB}


, , alphabet={A,B,C,D,E}


Comme tu vois, plus la taille des listes grandit, plus la proba devient infime.
Voilà, j'espère ne pas m'être trompé et avoir répondu à ton problème.

[invite73542c6f]

Ok.
Du coup c'est vachement plus vicieux, mais le principe reste (à peu près) le même.
Il ne faut pas te désintéresser de la proba ligne, regarde :
- on recherche la proba d'apparition d'une configuration donnée pour une colonne : comme tu l'as dit, cela revient à un tirage avec remise.
- mais ces colonnes (non contraintes) sont formées par la construction des mots (contraintes) : la proba de tomber sur une configuration donnée pour une colonne est liée à celle de tirer certains mots parmi l'ensemble de tous les mots possibles.

On introduit quelques notations :
on forme des mots de longueur par tirage aléatoire, sans remise, dans un alphabet de symboles.
Puis on construit une liste de mots ainsi formés, pris dans l'ensemble de tous les mots possibles.
Il y a
mots possibles
Les tirages de mots sont supposés indépendants et avec remise (si tu veux pas, dit-le). A chaque tirage, il y a donc une probabilité de prendre un mot donné.

On en vient aux colonnes : une configuration de la colonne est déterminée par les lettres situées à la position de chacun des mots.
Il ne manque plus que la probabilité qu'une lettre donnée figure en position d'un mot :
par construction, mots conviennent dans la liste pour une position, donc est la probabilité d'avoir la lettre en position dans le mot M.

Alors :
pour chaque mot,
donc à l'issue de tirages de mots indépendants :

est la probabilité de tirer la colonne C.

Exemple :
, , alphabet={A,B,C}
Mots possibles = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
L = {ABC,CAB}


, , alphabet={A,B,C,D,E}


Comme tu vois, plus la taille des listes grandit, plus la proba devient infime.
Voilà, j'espère ne pas m'être trompé et avoir répondu à ton problème.

Merci pour cette réponse, mais, décidément il y a toujours un mais, ce calcul me permet de calculer une probabilité pour un cas quelconque de liste de mots. Je cherche à savoir comment calculer la proba colonne par colonne. Pour un exemple
ABC
ACB
CAB
BAC
CAB
Quelles sont les proba pour les colonnes [AABCC] [AAABC] [BBBCC].
Si ton explication contenait la réponse c'est que je la mérite pas !!

Merci.

[lapin savant]

Pour un exemple
ABC
ACB
CAB
BAC
CAB
Quelles sont les proba pour les colonnes [AABCC] [AAABC] [BBBCC].

Je pense que c'est la même pour les 3, celle que je t'ai donnée : tu as construit cette liste comme je l'ai expliqué (5 mots de 3 lettres parmi les 6 possibles).
Soit :


Je me trompe peut-être.

[invite73542c6f]

Je pense que c'est la même pour les 3, celle que je t'ai donnée : tu as construit cette liste comme je l'ai expliqué (5 mots de 3 lettres parmi les 6 possibles).
Soit :


Je me trompe peut-être.

Je n'oserai pas émettre un jugement, mais cela me parait bizarre que la proba soit la même d'obtenir une colonne dans laquelle il y a deux répétitions d'une même lettre et une colonne ou il y a deux répétitions de deux lettres (pour donner un exemple).
J'ai faux ??

[lapin savant]

Il est tard, j'ai mal à la tête...oui normalement les probas sont différentes, seulement tu ne tires pas aléatoirement les colonnes directement par un tirage avec remise, mais par l'intermédiaire de lignes sur lesquelles tu imposes une contrainte. C'est pour cela que je pense qu'il faut faire le calcul ligne à ligne et considérer que les probas des colonnes sont égales (pour une même grille, bien entendu !).

Relis bien le post #6, moi je m'arrête ici, si quelqu'un trouve une erreur dans ce que j'ai écrit qu'il le signale.

[invite73542c6f]

Autant pour moi, après relecture, il s'agissait bien d'un problème de type tirage SANS remise. En effet, au début du problème, on a la totalité des lettres pour constituer le mot de la première ligne. Quand on attaque la seconde ligne, on pioche dans les lettres restantes.

Merci

[invite73542c6f]

Merci pour cette réponse, mais, décidément il y a toujours un mais, ce calcul me permet de calculer une probabilité pour un cas quelconque de liste de mots. Je cherche à savoir comment calculer la proba colonne par colonne. Pour un exemple
ABC
ACB
CAB
BAC
CAB
Quelles sont les proba pour les colonnes [AABCC] [AAABC] [BBBCC].
Si ton explication contenait la réponse c'est que je la mérite pas !!

Merci.

Je crois que je viens de comprendre ce qui ne va pas. Tu parles comme s'il s'agissait d'arrangements, alors qu'il serait plutôt question de combinaisons.
Dans le cas de colonne en arrengement, les lettres ne peuvent pas se répéter. On trouve donc toujours la même proba, puisqu'au final, il y a toujours les même lettres (dans un aodre différent, mais c'est toujours les même lettres).
Je suis dans le cas d'une combinaison.
Si par exemple, on part d'une population de lettre = {ABCDE}, on peut trouver les tirages :
ABCDE
ABCDE
ABDCE
BCDEA
BDECA
On voit que la proba d'avoir la première colonne devrait (si je comprend bien) être différente des autres. Il ne s'agit pas d'un calcul de proba au global de toutes les occurences de colonnes qui puissent appaitre, mais un calcul colonne par colonne.
Pour l'exemple que je viens de tirer, pour le calcul de la première colonne, il faut tenir compte de toute la population des lettres (soit 5lignesX5lettres par colonne = 25). Si l'on passe au calcul de la seconde, il ne reste plus que 5lignes X(totalités des lettres - 3A et 2B).

Non ?