martingale sur un jeu ou l'espérance de gain est de 51% avec mise maximale?

[masterw]

salut à tous, la question est assez pointue, prenons un jeu avec une mise minimale à 1 et une mise maximale à 10 ou l'espérance de gain est de 51%, quelle est la meilleure façon de gagner le plus possible et le plus rapidement possible en limitant les risques ?
il me semble que sur 10 parties, jouer en martingale en commençant par 1 , 2 si perte, 4 si perte, 8 , puis continuer à 8 tant que les gains sont négatifs, et redescendre à 1 et plus rentable que de miser 10 10 fois de suite, mais mes connaissances mathématiques sont limitées pour le prouver scientifiquement
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[minushabens]

dans ce jeu si tu mises x tu gagnes x?

et tu ne dis pas ce que tu fais quand tu gagnes, seulement quand tu perds.

[masterw]

exact si je mise x je gagne 2x
si je gagne je remise en recommençant par 1

[minushabens]

il faudrait voir ce que tu appelles "gagner le plus possible en minimisant le risque" parce que c'est de l'optimisation multi-critères. Mais si on ne parle que de maximiser le gain moyen, il est évident que puisque ton jeu a une espérance positive il te faut jouer le plus possible, par exemple toute ta fortune sur la première partie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[masterw]

il y a des statisticiens ou des profs d'université qui peuvent m'aider à résoudre ce problème sur le forum?

[Tryss]

Comme l'a dit minushabens, la notion de "gagner le plus possible le plus rapidement possible" s'oppose à celle de "en limitant les risques ". Donc la solution à ton problème dépend de l'équilibre que tu souhaite atteindre entre ces deux notions.

Après, concernant ta stratégie, en faisant quelques simulations, je trouve que sur 10.000 séquences de 100 parties:

Le gain moyen de la stratégie 1 "miser 10 à chaque fois" est (a peu près) de 20
Le gain moyen de la stratégie 2 que tu proposes (si je l'ai bien comprise) est (a peu près) de 5
La stratégie 1 est meilleure (on fini avec plus d'argent) dans un peu plus de 55% des séquences


Après, dans cette simulation, les joueurs ont une somme d'argent illimité : il n'y a pas de ruine possible. Il pourrait être intéressant de comparer ces deux stratégies si les joueurs jouent 100 parties (si ils ne sont pas ruinés avant), mais commencent avec seulement 10 fois la mise maximale.

Code scilab de la simulation :

 Cliquez pour afficher

N = 10000;
gain= zeros(2,N);
maxbets = 100;
p=0.51; //wining probability

rand("uniform");

for i=1:N
    tmpgain = zeros(1,2);
    r=rand(1,maxbets);
    
    //stratégie 1
    for j=1:maxbets
        if r(j)< p then
            tmpgain(1) = tmpgain(1)+10;
        else
            tmpgain(1) = tmpgain(1)-10;
        end
    end
    //stratégie 2
    bet = 1;
    for j=1:maxbets
        if r(j)< p then
            tmpgain(2) = tmpgain(2)+bet;
            bet=1;
        else
            tmpgain(2) = tmpgain(2)-bet;
            bet = bet*2;
            if bet > 8 then
                bet = 8;
            end
        end
    end
    
    // resultat
    gain(1,i)=tmpgain(1);
    gain(2,i)=tmpgain(2);
end

histplot(100, gain(1,:)-gain(2,:), style = 2);

[i_bin, counts, outside] = dsearch(gain(1,:)-gain(2,:), [0,10000]);

disp( sum(gain(1,:) )/N, "average gain strategy 1 : " );
disp( sum(gain(2,:) )/N, "average gain strategy 2 : " );
disp( (counts/N), "probability bigger gain with strategy 1 : " );

[minushabens]

Le gain moyen de la stratégie 1 "miser 10 à chaque fois" est (a peu près) de 20

théoriquement le gain moyen de 10 parties où la probabilité de gagner 10 est 0.51 est égal à 51. Il doit y avoir une couille dans ton programme.

[Tryss]

théoriquement le gain moyen de 10 parties où la probabilité de gagner 10 est 0.51 est égal à 51. Il doit y avoir une couille dans ton programme.

Heu, non

Il y a probabilité 0.51 de gagner 10 et probabilité 0.49 de gagner -10, le gain moyen par partie est donc de 0.2. Multiplié par 100 parties ça donne bien un gain moyen de 20

[minushabens]

ah ben oui. Je devrais changer de métier moi...