Somme partielle explicite

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Bonjour,
Il s'agit d'un problème de série entière. On considère le complexe
Il faut d'abord observer que
Puis on considère la série entière de terme general On montre alors facilement par le critère de d'Alembert que le rayon de convergence est de

La dernière partie, qui me perturbe beaucoup demande d'expliciter la somme partielle de cette série et d'en déduire sa somme .

Cela me pose problème puisque même si j'étais au fait des logarithmes complexes cela ne répondrait pas à la question qui impose de passer par les sommes partielles et quand j'essaie de séparer partie réelle et partie imaginaire j'obtiens des sommes dont l'expression générale ne me saute pas aux yeux...
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[cleanmen]

et en derivant puis reintegrant ca donne quoi ?
refaire un peu la preuve classique du dse du log, en quelque sorte.

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Je trouve

Cela en supposant vrais les résultats de dérivation de fonctions de variable réelle à valeurs complexes. Reste à intégrer, ce qui ne me paraît pas évident ..