Qu'est-ce qu'une théorie mathématique valide ?

[Naomi-Lyon]

Bien chers tous,

Depuis plusieurs mois, je me pose cette question :

quelle(s) qualité(s) doit avoir une théorie mathématique pour être approuvée par la communauté des mathématiciens ?
Il me semble qu'elle doit être cohérente mais j'ignore si c'est la seule qualité quelle doit posséder pour être qualifiée de "valide". Je me pose cette question car elle est fondamentale et elle n'est ni traitée par l'éducation nationale, ni abordée dans un livre écrit par un mathématicien.

D'autre part, est-ce qu'une théorie mathématique qui est jugée cohérente à l'instant t1 pourra être jugée incohérente à l'instant t2 > t1 ?
Je me pose cette question car j'ai cru comprendre en écoutant France Culture, il y a quelques années, que des mathématiciens ont découvert des failles dans des démonstrations mathématiques qui étaient approuvées par les mathématiciens jusqu'alors.

Avec mes salutations les meilleures,

Naomi
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[Médiat]

Bonjour,

quelle(s) qualité(s) doit avoir une théorie mathématique pour être approuvée par la communauté des mathématiciens ?
Il me semble qu'elle doit être cohérente mais j'ignore si c'est la seule qualité quelle doit posséder pour être qualifiée de "valide". Je me pose cette question car elle est fondamentale et elle n'est ni traitée par l'éducation nationale, ni abordée dans un livre écrit par un mathématicien.

Ce serait plutôt : ne pas être connue comme incohérente (cf. Arithmétique de Peano ou théorie des ensembles ZF(C))

D'autre part, est-ce qu'une théorie mathématique qui est jugée cohérente à l'instant t1 pourra être jugée incohérente à l'instant t2 > t1 ?

Je me pose cette question car j'ai cru comprendre en écoutant France Culture, il y a quelques années, que des mathématiciens ont découvert des failles dans des démonstrations mathématiques qui étaient approuvées par les mathématiciens jusqu'alors.

Il peut toujours rester des erreurs dans une démonstration, que l'on découvre a postériori, mais c'est d'une rareté exceptionnelle (ma première réponse éclaire ma deuxième)

[Médiat]

J'ai oublié un aspect, qui n'a rien à voir avec la validité, mais pour être avalisée par la communauté mathématique, une théorie doit avoir un intérêt (théorique ou pratique, mathématique ou pour une autre discipline etc.) ; inventer une théorie prend 10 s, mais si elle ne sert à rienn à personne, elle restera au fond de mon tiroir.

[Naomi-Lyon]

Bonjour Médiat,

Merci beaucoup pour votre réponse.
Vous avez parfaitement répondu à ma question.
Je vais effectuer des recherches sur les références que vous m'avez indiqué.

Avec mes meilleures salutations

Naomi

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

quelle(s) qualité(s) doit avoir une théorie mathématique pour être approuvée par la communauté des mathématiciens ?
Il me semble qu'elle doit être cohérente

Hum, je serais moins affirmatif ...
Comme l'a dit Médiat juste au-dessus, une théorie doit avant tout avoir un intérêt pour être approuvée. Une théorie grossièrement incohérente n'a aucun intérêt. Mais...
Depuis le temps que les mathématiques sont utilisées avec satisfaction, même si on découvrait une incohérence quelque part, cela n'empêcherait nullement de les utiliser encore.
Exemple typique : les théories physiques (ou astro-physiques) qui, nous le savons, ne sont pas cohérentes avec les observations, mais elles sont quand même utilisées, faute de mieux.
Ce serait pareil avec les maths : même si un jour Péano est prouvé incohérent, à mon avis l'arithmétique continuera à être utilisée... par beaucoup de mathématiciens, informaticiens, etc.

[Tryss]

Ce serait pareil avec les maths : même si un jour Péano est prouvé incohérent, à mon avis l'arithmétique continuera à être utilisée... par beaucoup de mathématiciens, informaticiens, etc.

Si un jour l'arithmétique de Peano est prouvé incohérente, alors plus aucun mathématicien n'utilisera l’arithmétique de Peano. En effet, à partir d'une théorie incohérente, on peut prouver absolument n'importe quoi, ça n'a donc plus aucun intérêt

Non, ce qui se passera, c'est qu'on modifiera et/ou ajoutera des axiomes pour rendre la théorie consistante

[Médiat]

Bonsoir,

Je suis d'accord avec Tryss, si on démontre que Peano est incohérente, je peux démontrer une bonne dizaine de conjectures à la minute (ainsi que leur contraire, et je pourrais faire tenir la démonstration de Wiles-Fermat dans la marge d'un bouquin de poche )

[Matmat]

Non, ce qui se passera, c'est qu'on modifiera et/ou ajoutera des axiomes pour rendre la théorie consistante

Pas en ajoutant non .

[leon1789]

(...) Non, ce qui se passera, c'est qu'on modifiera et/ou ajoutera des axiomes pour rendre la théorie consistante

Oui, c'est certain ! Et c'est en effet ce qu'il s'est passé au début du XXe siècle : les matheux purs (par opposition aux matheux appliqués) ont dû consolider la base des maths.

Si un jour l'arithmétique de Peano est prouvé incohérente, alors plus aucun mathématicien n'utilisera l’arithmétique de Peano. En effet, à partir d'une théorie incohérente, on peut prouver absolument n'importe quoi, ça n'a donc plus aucun intérêt (...)

Notre société toute entière repose sur les maths et, entre autres, sur Péano. Tu penses qu'une incohérence dans Peano fera disparaître instantanément tout ce que Peano a permis de construire dans notre société, sous prétexte qu'il y aurait une incohérence quelque part dans la théorie ? Je ne pense pas... Il y aura toujours des matheux appliqués (par opposition aux matheux purs) pour faire des stats sur le génome humain, du calcul scientifique pour mieux prédire la météo, des algorithmes de calcul de crypto, etc.
Ce n'est pas parce qu'on sait qu'il y a une contradiction quelque part que cela implique obligatoirement l'implosion de tout. Parce que, et surtout que, s'il y a contradiction quelque part, celle-ci doit être assez subtile et très éloignée du "concret".

[leon1789]

Bonsoir,
Je suis d'accord avec Tryss, si on démontre que Peano est incohérente, je peux démontrer une bonne dizaine de conjectures à la minute (ainsi que leur contraire, et je pourrais faire tenir la démonstration de Wiles-Fermat dans la marge d'un bouquin de poche )

En effet, ce que tu fabriqueras alors en 10 secondes n'aura aucun intérêt, oui. Mais tout ce qui aura été établi jusqu'alors aura toujours son intérêt.. Tu penses que les banquiers de la haute finance vont arrêter leurs études mathématiques très rentables sont prétexte que Médiat sort 6 théorèmes à la minute ??

[Tryss]

En effet, ce que tu fabriqueras alors en 10 secondes n'aura aucun intérêt, oui. Mais tout ce qui aura été établi jusqu'alors aura toujours son intérêt.. Tu penses que les banquiers de la haute finance vont arrêter leurs études mathématiques très rentables sont prétexte que Médiat sort 6 théorèmes à la minute ??

Pourquoi les théorèmes qu'il va alors établir seront moins intéressant et moins juste que ceux établi jusqu'alors?

[leon1789]

Sur l'intérêt des théorèmes issus d'une théorie incohérente, tu as donné la réponse :

à partir d'une théorie incohérente, on peut prouver absolument n'importe quoi, ça n'a donc plus aucun intérêt

[Tryss]

Sur l'intérêt des théorèmes issus d'une théorie incohérente, tu as donnée la réponse :

Mais les anciens théorèmes sont eux aussi issus d'une théorie incohérente ! ils ne sont donc pas plus intéressants que les nouveaux

[leon1789]

Disons que dans la soit-disante "inutilité", il y a des nuances claires.

Une preuve particulièrement inintéressante est en effet celle-ci << je suppose 0=1 , j'en conclue tout ce que je veux >> . Inintéressante, elle le restera définitivement, non ?

Maintenant, toutes les formules mathématiques établies au XXe siècle permettant de construire correctement un pont suspendu long de 3 km sont intéressantes. Elles le resteront même si les logiciens trouvent demain une contradiction dans Péano, non ? A moins que vous pensiez que les ponts vont alors s'écrouler d'un coup sous les pieds des logiciens

[minushabens]

Si l'axiomatique de Peano est incohérente il faudra la remplacer par une autre axiomatique, mais on voudra garder les théorèmes les plus classiques, par exemple on voudra qu'il y ait une infinité de nombres premiers. Je pense que la plupart des mathématiciens, même s'ils ne l'avouent pas, pensent que les objets mathématiques ont une certaine existence indépendamment des axiomes qu'eux-mêmes créent.

[Médiat]

Tu penses que les banquiers de la haute finance vont arrêter leurs études mathématiques très rentables

Malgré votre ton inacceptable je vais répondre sérieusement : quels sont les résultats utilisés par les banquiers, démontrés dans Peano, non démontrables dans une théorie plus faible ?

[leon1789]

@munishabens
Oui, c'est bien possible. Cela me fait à nouveau penser aux sciences expérimentales.

[Médiat]

Je pense que la plupart des mathématiciens, même s'ils ne l'avouent pas, pensent que les objets mathématiques ont une certaine existence indépendamment des axiomes qu'eux-mêmes créent.

Méthode rhétorique bien connue, et inacceptable dans un cadre scientifique, je préfère être du même avis que Krivine, par exemple.

[leon1789]

Malgré votre ton inacceptable

Pour ma part, je me permettrais pas de dire que je peux démontrer une bonne dizaine de conjectures à la minute

[Médiat]

Pour ma part, je me permettrais pas de dire que je peux démontrer une bonne dizaine de conjectures à la minute

Dommage pour vous, c'est enfantin dans une théorie inconsistante

[Naomi-Lyon]

Existe-t-il des théorèmes mathématiques qui étaient valides durant des siècles mais qui sont faux pour les mathématiques modernes ?

[leon1789]

@Médiat
Oui, bien sûr.
Mais le sujet (enfin, ma remarque personnelle) était justement de savoir si une théorie inconsistante se réduisait uniquement, nécessairement, à des enfantillages sans intérêt (comme vous le pensez manifestement), ou bien pouvait contenir des choses utiles, voire profondes, malgré cet état d'inconsistance. En ce qui me concerne, je n'ai pas envie de prendre le risque de dire à Gauss que ses résultats seraient enfantins si Péano se révélait inconsistant.

[Médiat]

Que dans ce cas, les travaux des mathématiciens en arithmétiques soient déclarés "sans intérêt", je ne pense pas avoir écrit cela, Tryss non plus, il faudrait juste refaire les démonstrations dans un autre théorie (d'ailleurs il est probable qu'un certain nombre de démonstrations ne devraient pas être changées (toutes les démonstrations n'utilisent pas tous les axiomes), ou encore plus souvent, légèrement adaptée)

Ce qui à été écrit par Tryss, et que j'approuve :

Si un jour l'arithmétique de Peano est prouvé incohérente, alors plus aucun mathématicien n'utilisera l’arithmétique de Peano.

Donc, sans surprise, vous ne savez pas ce que je pense, manifestement, même quand je l'ai écrit !

[Médiat]

Existe-t-il des théorèmes mathématiques qui étaient valides durant des siècles mais qui sont faux pour les mathématiques modernes ?

Ce qui se rapproche un peu de cela, c'est par exemple le 5ième postulat d'Euclide (sur les parallèles), tenu pour "vrai" pendant des siècles, alors que depuis le XIXième siècle on sait qu'on peut le remplacer par d'autres axiomes (la différence entre postulat et axiomes n'existe plus en mathématique) et obtenir une théorie ni plus ni moins consistante (ce qui évacue le vocabulaire plein de pièges impliquant la "vérité").

On n'a pas démontré que ce postulat est "vrai" ou "faux", mais qu'il est indécidable dans la théorie générée par les autres axiomes

[leon1789]

Donc, sans surprise, vous ne savez pas ce que je pense, manifestement, même quand je l'ai écrit !

Et vous auriez dû vous doutez, avec votre longue pratique du forum, que vos messages d'une ligne (entre 17h54 et 19h12) ne sont guère explicites sur vos intentions réelles.

Que dans ce cas, les travaux des mathématiciens en arithmétiques soient déclarés "sans intérêt", je ne pense pas avoir écrit cela, Tryss non plus, il faudrait juste refaire les démonstrations dans un autre théorie (d'ailleurs il est probable qu'un certain nombre de démonstrations ne devraient pas être changées (toutes les démonstrations n'utilisent pas tous les axiomes), ou encore plus souvent, légèrement adaptée)

Par là, vous rejoignez donc des propos de Minushabens.
Cela dit, je me demande si la plupart des mathématiciens pensent vraiment à l'axiomatique qu'ils utilisent...

[Médiat]

Par là, vous rejoignez donc des propos de Minushabens.

Oui, tout à fait, sur l'aspect :

Si l'axiomatique de Peano est incohérente il faudra la remplacer par une autre axiomatique, mais on voudra garder les théorèmes les plus classiques

Il existe déjà des dizaines, voire des centaines d'arithmétiques "faibles"

Et vous auriez dû vous doutez, avec votre longue pratique du forum, que vos messages d'une ligne (entre 17h54 et 19h12) ne sont guère explicites sur vos intentions réelles.

Si vous avez des questions, c'est plus simple, plus efficace et plus honnête de les poser que de me prêter des pensées que je n'ai pas !

[leon1789]

...à vous de prendre soin d'exposer vos idées clairement, pour ne pas souffrir d'être incompris par des lecteurs que vous qualifiez visiblement facilement de malhonnêtes.
Je vous renvoie à vos propos :

Malgré votre ton inacceptable (...)

[Médiat]

pour ne pas souffrir d'être incompris

Rassurez-vous, je n'en souffre pas du tout !

[azizovsky]

Bonsoir, une petite question : supposant que les mathématiciens démontrent que l'arithmétique de Peano est incohérente, est ce que l'arithmétique de Presburger reste d'un grand secours? car j'ai lu

L'arithmétique de Presburger est une restriction de l'arithmétique de Peano où l'on élimine la multiplication, on a l'addition et éventuellement l'ordre. Elle est beaucoup moins expressive, mais complète et décidable.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

[leon1789]

Rassurez-vous, je n'en souffre pas du tout !

Tant mieux, vous trouverez donc encore la force de répondre à ma demande.

Si un jour l'arithmétique de Peano est prouvé incohérente, alors plus aucun mathématicien n'utilisera l’arithmétique de Peano.

Donc, sans surprise, vous ne savez pas ce que je pense, manifestement, même quand je l'ai écrit !

Alors dites-moi, s'il vous plaît, où avez-vous écrit quelque chose qui ressemble à cela dans vos propos ? Je vous cite :

Bonjour,
Ce serait plutôt : ne pas être connue comme incohérente (cf. Arithmétique de Peano ou théorie des ensembles ZF(C))
Il peut toujours rester des erreurs dans une démonstration, que l'on découvre a postériori, mais c'est d'une rareté exceptionnelle (ma première réponse éclaire ma deuxième)

J'ai oublié un aspect, qui n'a rien à voir avec la validité, mais pour être avalisée par la communauté mathématique, une théorie doit avoir un intérêt (théorique ou pratique, mathématique ou pour une autre discipline etc.) ; inventer une théorie prend 10 s, mais si elle ne sert à rienn à personne, elle restera au fond de mon tiroir.

Je suis d'accord avec Tryss, si on démontre que Peano est incohérente, je peux démontrer une bonne dizaine de conjectures à la minute (ainsi que leur contraire, et je pourrais faire tenir la démonstration de Wiles-Fermat dans la marge d'un bouquin de poche )

Malgré votre ton inacceptable je vais répondre sérieusement : quels sont les résultats utilisés par les banquiers, démontrés dans Peano, non démontrables dans une théorie plus faible ?

Méthode rhétorique bien connue, et inacceptable dans un cadre scientifique, je préfère être du même avis que Krivine, par exemple.

Dommage pour vous, c'est enfantin dans une théorie inconsistante