suites de fonctions

[christophe_de_Berlin]

bonjour,

j´ai un doute sur un théorème qui concerne la convergence uniforme d´une suite de fonctions sur un intervalle I. Il s´agit du théoréme suivant.

Une suite de fonctions est uniformément convergente sur I si elle est simplement convergente sur I, de fonction limite f, et si de plus:

Sup (fn(x) - f(x)) est une suite convergente.

Dans sup il faut évidement comprendre qu´il faut choisir x dans I tel que (fn(x) - f(x)) soit maximum.

Bon. Dans le bouquin où j´ai lu ça, ils donnent un exemple et un contre-exemple, dans lequel il est "prouvé que fn ne converge pas uniformément, car
Sup (fn(x) - f(x)) converge, mais pas vers 0.

Il s´agit apparemment d´une erreur, soit dans l´énoncé du théorème, soit dans l´exemple en question.

Donc voilà ma question: faut-il que Sup (fn(x) - f(x)) converge vers 0 pour qu´on en déduise la convergence uniforme, ou suffit-il qu´elle converge?

merci d´avance

christophe
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[matthias]

faut-il que Sup (fn(x) - f(x)) converge vers 0 pour qu´on en déduise la convergence uniforme

Oui, c'est même la définition de la convergence uniforme.
Enfin, il faut quand même mettre une valeur absolue, c'est Sup(|fn(x)-f(x)|), pas Sup(fn(x)-f(x)).

[christophe_de_Berlin]

d´accord, merci