Aire de l'image du disque

[Mikiisa]

Bonjour, je bloque que cet exo :/

J'ai f(z) = sum an z^n une SE de rayon de cv>1, injective je le disque unité D et de derive non-nulle.

Je doit calculer l'aire de f(D). Je ne vois pas trop comment faire :/

Aidez moi svp !
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[Universus]

Bonjour,

Tout d'abord, je vous suggère d'utiliser le théorème de Green-Riemann afin d'exprimer l'aire du domaine en terme d'une intégrale de contour le long du « cercle » où C est le cercle unité. Il y a plusieurs réponses possibles, mais la plus utile du point de vue du calcul avec les nombres complexes est

.

C'est en effet l'expression la plus utile, car pour la décomposition , l'expression de droite vaut , qui s'avère être la moitié de la partie imaginaire de l'intégrale de contour .

En utilisant les expressions en séries de et de induites par celle de et en usant du fait que nous intégrons sur le cercle unité, nous pouvons exprimer cette (moitié de la partie imaginaire de l') intégrale comme une série assez simple. Cette expression (que je vous laisse trouver) généralise clairement la formule pour l'aire d'un disque.

Remarque : l'égalité tient en raison de l'hypothèse d'injectivité de . Ceci dit, au lieu d'utiliser la théorème de Green-Riemann, nous pourrions utiliser directement le théorème (général) de Stokes, celui portant sur les formes différentielles. Dans ce cas, en raison de propriétés de naturalité de la dérivée extérieure et de l'intégration, nous obtiendrions la même expression, qu'importe si la fonction est injective ou non. Il ne s'avère pas non plus important que la dérivée ne s'annule pas ; si la dérivée s'annule par endroits, il y a possibilité (voire nécessité) que f soit un revêtement multiple ramifié sur son image, dans quel cas le calcul effectué ci-dessus donne l'aire « avec multiplicité ».

[Mikiisa]

Merci pour votre réponse très complète.

J'avais finalement réussi l'exercice en utilisant des outils de base, en exprimant cette aire comme l'intégrale sur f(D) de 1dxdy puis en effectuant un premier CV pour me ramener a une integrale sur D (faisant apparaître le jacobien J(f) = |f'(z)|^2, puis un second pour passer en coordonnee polaire.

Partant de la, je faisais comme vous le suggériez, remplacer |f'(z)|^2 = f'(z)f'(z)* par leurs développement en série, et au terme d'un calcul fastidieux j'obtenais le résultat souhaite :

Aire f(D) = Pi(|c1|^2 + |c2|^2 + ...)