Bonsoir,
Quelqu'un peut il me dire pourquoi (ou me donner des pistes de recherche) le produit dénombrable d'ensembles dénombrables n'est pas dénombrable?
J'ai beau chercher sur le Net, je trouve l'affirmation sans démonstration.
Merci d'avance à vous!
Cela ne vous suffit pas?
"Le théorème de Cantor montre, par l'argument diagonal, que l'ensemble des parties d'un ensemble dénombrable n'est pas dénombrable. On déduit de ce théorème, ou en reprenant l'argument diagonal, que l'ensemble des suites à valeurs entières indexées par les entiers (les fonctions de N dans N) n'est pas non plus dénombrable, ce qui signifie qu'un produit dénombrable d'ensembles dénombrables n'est pas dénombrable." (wikipedia)
Le théorème diagonal sur R utilise des représentations décimales de nombres réels. Il suffit de remplacer "chiffre" par "nombre entier" pour avoir la même démonstration sur l'ensemble des suites à valeurs entières, et cet ensemble est un produit dénombrable d'ensembles dénombrables (par définition)
Dernière modification par Resartus ; 16/09/2015 à 21h43.
Dit autrement,
comme un ensemble dénombrable est en bijection avec, un produit dénombrable d'ensembles dénombrables est en bijection avec
On utilise alors directement l'argument diagonal, en montrant qu'une énumération (*) de
Cordialement.
(*) suite infinie dénombrable d'éléments.
Merci à vous deux :') ! C'est clair à présent!
Bonjour,
On peut aussi utiliser un résultat d'arithmétique cardinale (trivial à démontrer) :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
