Foncteur

[mona123]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider à resoudre cette question:
Soit F : C → D un foncteur.

Soit d un objet de D. On considère
F_d : C → Ens , C −→ Hom_D(d, F(C))
Montrer que F_d est un foncteur.
merci en avance
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[invite52487760]

Salut :

Sauf erreur de ma part, la composée de deux foncteurs est un foncteur.

[mona123]

Bonjour Chentouf,
oui j'ai vu que Fd=F1_°F
ou F1=hom_D(d,_)
mais j'ai pas pu montrer que F1 est un foncteur.pouvez vous m'aider?
Bien cordialement

[invite52487760]

Salut :

est défini par :
- pour les objets.
- pour les morphismes.

Pour établir que c'est un foncteur, tu vérifies les deux propriétés qui figurent sur le lien suivant : ( identité + composition ) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Je m'excuse, je corrige ce que j'ai écrit :
Pour les morphismes, on a :

[mona123]

cv,j'ai pu rediger la reponse
mais je n'est pas pu repondre à la question suivante:Formuler la propriété universelle pour un objet de C representant le foncteur Fd
pouvez vous m'aider
cordialement

[invite52487760]

Je ne sais pas si ce que je vais écrire est correct, mais je vais essayer quant même :
D'abord, j'imagine que ton foncteur est contravariant, par conséquent :
représente .
Pour la propriété universelle, je ne sais pas. ça doit être la traduction ensembliste de l'écriture ci-dessus, mais puisque, ne dépend pas de , j'ai du mal à traduire cette écriture en propriété universelle. Regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur_adjoint

[invite52487760]

Salut :

Pour la propriété universelle :
: avec et ( je ne sais pas comment elle est définie ).

Edit : Ne compte pas trop sur ce que j'écris, peut être si quelqu'un d'autres viendra t'expliquera mieux que moi. Cordialement.

[mona123]

est il juste de repondre comme ça?

[invite52487760]

Bravo à toi, oui.
Tu n'as pas précisé la définition de et de . Peut être que c'est claire pour toi.
Moi, je m'embrouille assez vite devant ces notations, c'est pourquoi, je préfère ne pas entrer dans ces détails.

[azizovsky]

tu n'a qu'a regardé ici :https://fr.wikipedia.org/wiki/Propri...upes_quotients (càd A est un objet universel)

[mona123]

Salut Chentouf, pouvez vous m'aider à repondre à la question qui suit:
Supposons que F_D est représentable pour tout objet d de D. On
considère la règle G : D → C qui envoie tout objet d de D vers un objet de

C représentant F_D. Définir G au niveau des morphismes, afin d’en faire un

foncteur.
Bien cordialement

[azizovsky]

si on'a : g:A--->x et h : x --->A, A universel et càd est solution du problème posé par F .

[invite52487760]

Salut :

Sauf erreur de ma part : .
Donc : paramétrise les représentants de . La notation standard c'est : au lieu de dans tous les bouquins du langage des catégories. Au niveau des objets, on a : et au niveau des morphismes, on a : .

[mona123]

tout ce que j'ai compris de la question qu'on a :
G→C qui à tout objet D1 de D associe G(D1) un representant de F_D1
soient D1,D2 deux objets de D et F un morphisme entre D1 et D2
on a G(f):G(D1)→G(D2)
on veut determiner (G(f))(g) pour tout g dans G(D1)
n'est ce pas ?

[invite52487760]

Oui, très bien, tu écris les choses mieux que moi.
Donc, on a : .

[azizovsky]

Oui, très bien, tu écris les choses mieux que moi.
Donc, on a : .

Bonjour chentouf, je crois que les mots catégorie, foncteur ...., te font perdre les pédales , ?, F(g)=f ce qui donne composition de deux morphismes dans deux catégories!!....déjà g est définit dans C , g:A---->X dans C.


les données de la question est : à chaque objet de D =F(C), il y'a un représentant dans C de ,

pour définir le foncteur G au niveau des morphismes , il suffit d'utiliser la définition d'un foncteur https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

[mona123]

Bonjour azizovsky,
j'ai pas pu definir le foncteur G au niveau des morphisme,pouvez vous m'aider?
merci en avance

[azizovsky]

Bonsoir, est un foncteur càd : objets de ,




dans les données est représenté dans , chaque objet dans D lui correspond un objet dans C

et puisque parcourt tous D




( à vérifier avec les données ...)