Ensembles et application : démontrer une propriété

[KINDERMAXI]

Bonjour,

J'aurais besoin d'un peu d'aide pour une démonstration. En effet, voici l'exercice :

Soit E et F deux ensembles et f : E ---> F. Montrer que f est injective si et seulement si :

J'ai montré le sens direct de l'implication. Par contre j'ai plus de mal pour le sens contraire.

Supposons qu'on ait . Soit x appartenant à A et x' appartenant à A', alors f(x) inter f(x') appartient à f(A inter A'). Ça donne rien... Je vois pas trop où aller... Bref, j'aurais besoin d'un peu d'aide, si possible.

Merci d'avance !
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[KINDERMAXI]

(désolé du double post je ne peux pas éditer)

J'ai essayé cette démarche-ci :


J'ai essayé également de commencer comme ceci : Soit y appartenant à F(A inter A'), donc y appartient à f(A) inter f(A').
Soit x appartenant à A et x' appartenant à A', on a y = f(x) = f(x'). Mais après, je suis bloquée.

Je pars de la mauvaise façon ou ... ?

[leon1789]

Soit x appartenant à A et x' appartenant à A', on a y = f(x) = f(x'). Mais après, je suis bloquée.

Je pars de la mauvaise façon ou ... ?

pose A={x} et A'={x'} et vois

[PlaneteF]

Bonsoir,

@KINDERMAXI :

Il y a carrément un "vice de forme" dans tes tentatives de démonstration. Tu parles de et de , froidement, sans même les avoir défini !!

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Et donc pour aller dans le sens du tuyau donné par leon1789 :

Soient et appartenant à tels que . Que vaut alors ?

A toi de finir la démonstration

Cdt

[KINDERMAXI]

Très bien, en fait j'aurais du déjà préciser, avant toute chose, que A et A' sont des parties de E, c'est bien ça ?

Sinon donc voici ce que j'ai fais :

Soit A et A' des parties de E. On a f(A inter A') = f(A) inter f(A'). De plus, soit A={x] et A'={x'} avec x différent de x' et x,x' appartenant à E. Supposons qu'on ai f(x) = f(x'). Alors f(A inter A') = {f(x)}. Or f(x) différent de l'ensemble vide, donc A inter A' différent de l'ensemble vide, d’où x=x'. f est donc injective.

Ça tient debout ou ? De même je ne suis pas bien sûre de la fin, en gros de déduire que si A inter A' est différent de l'ensemble vide, alors x=x'. Mais d'un autre côté ça semble pas incohérent, car x inter x' "c'est" A inter A'. Right ?

En tout cas merci beaucoup de m'aider, surtout que ce chapitre n'est pas si "facile" qu'il n'y paraît je trouve...

[PlaneteF]

De plus, soit A={x] et A'={x'} avec x différent de x' et x,x' appartenant à E. Supposons qu'on ai f(x) = f(x'). Alors f(A inter A') = {f(x)}.

C'est faux.

Sinon, as-tu lu le message#5 ?

Cdt

[KINDERMAXI]

D'accord. Du coup {x} inter {x'} est équivalent à A inter A' (si on admet que A={x} et A'={x'}), non ?

[PlaneteF]

D'accord. Du coup {x} inter {x'} est équivalent à A inter A' (si on admet que A={x} et A'={x'}), non ?

La question c'est surtout combien cela vaut sachant que ?

Cdt

[KINDERMAXI]

Pardon, il s'agit de l'ensemble vide si je ne me trompe pas. Du coup quand je relis ma démonstration, il y a une grosse absurdité.

[PlaneteF]

Pardon, il s'agit de l'ensemble vide si je ne me trompe pas.

Enchaîne, ...

Cdt

[KINDERMAXI]

Soit x et x' appartenant à E, avec x différent de x'. Soit A= {x} et A'={x'}. On a {x} inter {x'} égal à l'ensemble vide. Donc f(A inter A') égal à l'ensemble vide. Or par hypothèse, f(A inter A') = f(A) inter f(A'). On est donc face à une contradiction. On a donc x=x'.

C'est bien ça ou pas encore ? :/

[PlaneteF]

Soit x et x' appartenant à E, avec x différent de x'. Soit A= {x} et A'={x'}. On a {x} inter {x'} égal à l'ensemble vide. Donc f(A inter A') égal à l'ensemble vide. Or par hypothèse, f(A inter A') = f(A) inter f(A'). On est donc face à une contradiction. On a donc x=x'.

C'est bien ça ou pas encore ? :/

Je vais être cash avec toi : C'est carrément n'importe quoi !

Cdt

[KINDERMAXI]

Bon, je vois. Donc si je résume, on a :

x et x' appartenant à E tels que x différent de x'. Donc {x} inter {x'} est égal à l'ensemble vide. Pour A et A' des parties de E, on pose A={x} et A'={x'}. On a A inter A' qui équivaut à l'ensemble vide.

Jusque là, c'est pas "faux"... si ?

Après, on sait que : f(A inter A') = f(A) inter f(A'). Mais là vu qu'on vient de dire que A inter A' est l'ensemble vide... Need help

[PlaneteF]

As-tu au moins compris ce qu'il fallait démontrer en partant de pour pouvoir conclure que la fonction est injective ?

Cdt

[KINDERMAXI]

On sait que pour une application f : E---> F (E et F deux ensembles), on a f(x) = f(x') => x=x' si f est injective. Donc f(x) différent de f(x') => x différent de x'. Maintenant dans la situation donnée ici, si on part avec x != x', j'imagine qu'on va montrer que f(x) != f(x').

[PlaneteF]

on a f(x) = f(x') => x=x' si f est injective. Donc f(x) différent de f(x') => x différent de x'.

Jamais de la vie, ... ce raisonnement est faux (même si ce que tu as écrit après le "donc" est correct).

Cdt

[KINDERMAXI]

C'est l'inverse, on a x différent de x' => f(x) différent de f(x')...

[PlaneteF]

C'est l'inverse, on a x différent de x' => f(x) différent de f(x')...

OK, cette implication permet effectivement de démontrer que est injective.

Maintenant tu peux aussi remarquer que d'une manière générale on a :

Cdt

[KINDERMAXI]

Bon, donc si j'écris pas trop de m.... (parce que là ça fait beaucoup, je m'en excuse), j'ai :

Soit x et x' éléments de E avec x différent de x'. On a A={x} et A'={x'}. On a de plus {x} inter {x'} égal à l'ensemble vide, donc A inter A' égal à l'ensemble vide. Ainsi, f({x} inter {x'}) = ensemble vide. Or f({x} inter {x'}) = f({x} inter f({x'}). Donc f({x}) et f({x'}) sont disjoints. Donc f({x}) != f{x'}). D'où f(A) != f(A') si A différent de A'.

On a donc bien f injective. Si c'est pas ça, je me pends je crois...

[PlaneteF]

Donc f({x}) et f({x'}) sont disjoints. Donc f({x}) != f{x'}). D'où f(A) != f(A') si A différent de A'.

Mais kestu racontes ? ...

Combien vaut ? ... Et combien vaut ?

Cdt

[KINDERMAXI]

f({x}) = f(A) et f({x'}) = f(A') non ? oO Vu qu'on a posé A={x} et A'={x'}.

Je vois pas trop pourquoi le raisonnement est faux par ailleurs. D'un côté on a f({x} inter {x'}) = ensemble vide, or f({x} inter {x'}) = f({x}) inter f{x'}). Donc f({x}) inter f{x'}) est égal à l'ensemble vide, et normalement ça signifie bien que f({x}) et f{x'}) sont disjoints. Quand on a deux ensembles A et B, et qu'on a A inter B = ensemble vide, cela veut bien dire que A et B sont disjoints, non ?

Après, étant donné que f({x}) et f{x'}) sont disjoints, on a (en remplaçant par A et A'), f(A) et f(A') sont disjoints, et donc f(A) et f(A') sont différents. Or à la base on a dit que A={x} et A'={x'} et que x et x' sont différents, donc que A et A' sont eux aussi différents.

Je vois vraiment pas l'erreur de raisonnement...

[PlaneteF]

Mais laisse tomber ces histoires de et , cela alourdit inutilement la démonstration, ... pas besoin de passer par ces variables intermédiaires.

On a tout simplement et

Et il faut bien passer par là pour pouvoir conclure avec ceci :


Cdt

[PlaneteF]

Et puis autre chose : Pourquoi cherches-tu à conclure que ...

Je te rappelle que ce que l'on veut démontrer c'est que ... ou ce qui revient au même, que :


Cdt

[PlaneteF]

Et puis autre chose : Pourquoi cherches-tu à conclure que

Je voulais dire : Pourquoi cherches-tu à conclure que