Equation différentielle non linéaire du second ordre

[herveh]

Bonjour,

J'ai recours pour la première fois à ce forum pour savoir si vous pensez qu'il est possible de résoudre analytiquement une équation non linéaire du second ordre de la forme :

y''+a.y⁴=0 avec a un nombre réel positif.

J'ai essayé plusieurs méthodes manuelles, et des solutions intuitives mais je ne suis arrivé à rien de probant.

Je vous remercie pour des pistes ou des idées.

Bien cordialement,
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[Resartus]

Il y a au moins la solution y=kx^(-2/3) où k vaut -(10/9a)^(1/3)....

[Resartus]

Suite de la résolution : en posant y'=u on obtient l'équation du premier degré suivante :
y"=du/dx=du/dy*dy/dx=uu' d'où udu/dy=-ay^4 qu'on peut réécrire du^2/2=-ady^5/5
d'où y'=racine(2a/5y^5+cste).
On a donc au final dx=dy/racine(2/5y^5+cste).
En permutant x et y on se ramène à intégrer une fonction de la forme 1/racine(1+x^5)

D'après wolfram, cette fonction s'intègre en utilisant la fonction hypergeométrique :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2Fsqrt%28+%281% 2Bx^5%29

Je n'ai pas le courage de chercher plus loin...