Fonctions différentiables

[theophrastusbombastus]

Bonsoir,
étudiant en L2 nous avons attaqué, en analyse vectorielle, les fonctions différentiables et je souhaiterai avoir quelques précisions aux travers d'exercices et, si vous avez, des exemples "concrets"...

Exercice 1
Soit A une application linéaire Rⁿ → R^m. Montrer que A est une application différentiable, calculer dA.

déjà y t-il une manières "attendus" pour montrer qu'elle est différentiable ? Hormis faire son développement a l'ordre 1 et dire qu'il existe un opérateur linéaire A', et sans utilisé de dérivée directionnelle. (Ou donné moi simplement une application linéaire qui permet de visualiser cette question)
Sinon en effet je sais que dA=A pas besoin de revenir la dessus ni sur la démonstration, je voudrais "visualiser"...

Exercice 2
Soit A une application linéaire Rⁿ → Rⁿ

1)Soit f(x) = <Ax ; x> Montrer que f(x) est une fonction différentiable,
calculer df(x).
(<Ax ; x> est le produit vectoriel de Ax et x)

Un peu pareil... comment comprendre "intuitivement" que la réponse est 2Ax
si quelqu'un pouvais juste m’écrire la démonstration détaillée, y me manque un "truc" pour vraiment comprendre

je vous remercie d'avance pour vos réponses
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[Resartus]

Il faut remonter aux définitions . Si on applique la linéarité à A(x0+epsilon)° (où epsilon est un vecteur de coordonnées dxi), le résultat est rigoureusement égal à A.x0+A.epsilon. Quand on calcule les dérivées, chaque composante vaut bien Aij. pas besoin de développement en série dans ce cas
Dans le deuxième cas, après développement, il apparait des termes du second ordre qui quand on dérive donnent Aepsilon*ui. (où ui est le vecteur unitaire dans la direction i et * le produit vectoriel) Là il faut utiliser que :
norme(Aepsilon)<=norme(A)norme (epsilon) pour montrer que ces termes tendent vers zero

°produit matriciel : Promis, je commence LaTex demain...

[Dicolevrai]

Salut,
Pour toi theophrastusbombastus, quand dit-on qu'une application est différentiable en ?

[theophrastusbombastus]

RAHHHH je suis desole je viens de me rendre compte que j'ai dit une betise, je voulais parle de produit SCALAIRE et pas vectorielle... mea culpa !

ensuite, a ce que j'ai compris on dit qu'une application est différentiable lorsqu'elle admet un développement limite d'ordre 1 en ce vecteur et qu'il existe une application linéaire continue, sa différentiel (là j'ai du mal a saisir justement, dans mon 1er exo, a saisir la notation dA(x)*h ou dA(x)(h)= A(h) et comment ca implique que dA(x)=A ce h "disparaît" pour moi, et je ne comprend pas comment une matrice peut être une "constante" a l'instar d'une fonction linéaire ou pour f(x)=ax ou a est bien une constante pour R, mais A peut être une matrice dans un E.V, qu'un vecteur soit constant OK, mais une matrice, une application ?!)
encore merci a vous de prendre le temps de me repondre

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Il faut que vous revoyiez votre cours, car il y a mauvaise compréhension des définitions, qu'il faut résoudre au préalable

1) une application LINEAIRE de Rn dans Rm est décrite par une matrice A dont tous les termes sont constants et la formule de la transformation est exactement la suivante y=Ax (où y, x sont des vecteurs et A une matrice n m)
2) un fonction F de Rn sur Rm (quelconque, cette fois) est DIFFERENTIABLE s'il existe une application linéaire F' tq
F(x+dx)=F(x)+ F'dx+o(dx) (x et dx sont des vecteurs et F' une matrice) et o(dx) est négligeable devant dx

si A est une application linéaire de matrice A on a exactement A(x+dx)=Ax+Adx. On retrouve la formule voulue pour la différentielle et donc l'application est différentiable et sa dérivée est A'=A

3) Dans le dernier cas, c'est encore plus simple avec un produit scalaire. Dans ce cas la fonction est de Rn vers R, et le produit scalaire
étant linéaire, on a : f(x+dx)= A(x+dx).(x+dx)= Ax.x+Ax.dx+Adx.x+Adx.dx . Le produit scalaire étant commutatif, on peut l'écrire aussi
f(x+dx)=f(x)+ 2Ax.dx+ Adx.dx, et Adx.dx est bien négligeable devant dx. La différentielle de Ax.x est donc 2Ax.
On note au passage que la fonction est une fonction de Rn vers R, et la différentielle est donc un vecteur de dimension n.

NB : il sera plus propre dans votre travail d'écrire les produits scalaires comme le produit matriciel du transposé d'un des vecteurs avec le second

[Dizord]

Salut,

On a attaqué aussi la différentiabilité en L2 maths alors je pense pouvoir t'aider.
L'exercice 1 est hyper simple en revenant à la définition :



Et ça c'est exactement la définition de la différentiabilité. Donc

Pour l'exercice 2.

est de classe donc f est différentiable. Pour calculer la différentielle, calcule les deux dérivées partielles et c'est quasiment fini!

[theophrastusbombastus]

HEINNNN !!!! je crois que je commence a comprendre

par exemple, l'exercice suivant est g(x)=llAxll² (donc la norme de Ax au carre, A une application linéaire)
g(x+dx)=<Ax;Ax>+2<Ax;Adx>+<Adx ;Adx>
où <Ax;Ax> "représente" g(x)
2<Ax;Adx>=2xA^tAdx "représente" DA(x)(dx)
et <Adx;Adx> la quantité négligeable dans
A(x+dx)=A(x)+DA(x)(dx)+o(lldxl l) donc l'application est différentiable et sa différentielle vaut DA(x)=2xA^tA ?

[Resartus]

Oui. mais attention quand même à la non commutativité (ici cela commute, parce que la trace est invariante, mais il faut systématiquement vérifier), et aux transpositions, pour que les dimensions des produits soient les bonnes. Par exemple c'est 2xtAtA qu'il faut écrire

[invite02232301]

Bonjour,
Il est faux que la differentielle d'une application linéaire, est elle meme, c'est deja faux sur R. Par contre la differentielle d'une application linéaire évaluée en un point x, vaut l'application linéaire elle meme.
Dit autrement, c'est df(x) qui vaut f, ou df(x)(h)=f(h). Mais certainement pas df(x)=f(x)