Probabilité d'une somme de plusieurs tirage pour une loi normale

[dam44]

Bonjour,

Voici mon problème :

En calculant la masse de 100 échantillons, j'obtiens une moyenne de 20.6g pour un écart type de 0.58.

J'aimerais connaitre la probabilité que la somme de 6 produits tiré au hasard soit supérieure à 121.8g. Puis pour 12 produits.

Je sais le faire pour une loi binomiale, mais pour une fonction continue, je ne vois pas comment partir (hormis de prendre le cas succes/echec, ce qui ne m'interesse pas).

Je ne cherche pas la réponse mais plutot la méthode ou le raisonnement à appliquer dans ce cas,

Je vous remercie d'avance,

Damien
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[gg0]

Bonjour.

Ton énoncé manque de précision. A priori, la probabilité dont tu parles dépend très fortement de la répartition des 100 valeurs. Même si les valeurs de chaque mesure (*) suivent une loi Normale, la répartition de ces 100 valeurs n'est pas gaussienne, puisqu'elle est discrète. Donc on ne sait pas trop ce que vont donner 6 valeurs prises parmi les 100. Mais peut-être s'agit-il d'un échantillon de 100 valeurs servant à estimer la moyenne et l'écart type (**) de la variable que l'on mesure.
Dans ce deuxième cas, si on fait 6 nouvelles mesures, et qu'elles sont indépendantes, la somme de ces 6 mesures suit une loi Normale dont tu peux estimer la moyenne et l'écart type, puis estimer la probabilité voulue.

Cordialement.

NB : je n'ai pas compris ce que tu racontes à propos d'une loi binomiale.

(*) je préfère parler de mesure car le mot échantillon a un sens technique en probas-stats. Tes 100 "échantillons" pourraient être considérés comme constituant un échantillon (statistique).
(**) 0,58 est-il l'écart type des 100 valeurs, ou l'écart type d'échantillon, l'estimation de l'écart type de la population ?

[dam44]

Bonjour gg0,

Il s'agit de portions de fromage à la sortie d'une ligne de production,

Effectivement j'ai pris 100 mesures afin de déterminer la moyenne et l'ET.

Pour répondre à votre question, l'ET calculé est basé sur les 100 mesures.

Les produits seront emballés dans des sacs contenant 6 ou 12 portions.

Les sacs contenant 6 portions doivent contenir au minimum 121.8g de produit (6*20.3) et les sacs de 12, le double (12*20.3).

Un mécanisme de rejet mettra au rebus les sacs ne contenant pas assez de produit.

Ce que je voulais estimer est le pourcentage de sac qui ne seront pas au poids.

Comment puis-je estimer cette valeur sans refaire des mesures par 6 ou par 12 portions (ce qui serait fastidieux)?

Merci

[gg0]

Ok, c'est simple à condition de faire quelques suppositions. C'est aussi classique (normes HACCP).

On va supposer que la masse d'une portion suit une loi Normale N(20.6,0.58) (c a d que tes estimations sont correctes). Et que les masses sont indépendantes (industriellement c'est faux, mais difficile de se passer de cette hypothèse). Dans un paquet de 6, soient a, b, c, d, e et f les masses des portions (donc ce sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes). Alors (indépendance) a+b+c+d+e+f suit une loi Normale dont tu peux facilement calculer les caractéristiques (voir un cours sur les propriétés des moyennes et variances). Tu en déduis la probabilité voulue.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[dam44]

Si j'ai bien compris, pour 6 portions par sac,
la variance de la masse totale du sac est égale à : Variance(1 portions) * (6)^1/2
Merci

[gg0]

Ok. ..............

[minushabens]

la variance de la masse totale du sac est égale à : Variance(1 portions) * (6)^1/2

attention la racine carrée c'est pour l'écart-type.

[dam44]

Merci beaucoup

[gg0]

Oups !

Je l'avais vu à première lecture, puis je suis passé à autre chose avant de répondre, et j'ai oublié. Les variances s'additionnent, ce qui fait une variance 6 fois plus grande.