Exercices sommes coefficients binomale

[psy67]

Bonjour à tous,
je suis en première année de prépa intégrée et la prof nous a donné une série d'exercice avec des exercices supplémentaires un peu plus compliqués à faire.

J'ai déjà réussi l'exercice 2.
L'exercice 1 je pense que c'est une somme telescopique mais les coefficients binomiaux me bloquent.
Pour l'exercice 3 j'ai fait un début mais je n'arrive à rien de concrêt..
Pour l'exercice 4 je me demande si il faut développer les factorielle ou partir d'autre part?
Sachant que la prof ne les corrigera pas, j'aurais bien voulu votre aide.
Merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

Pour la 1, vous pouvez multiplier numérateur et dénominateur par (n + 1)(n + 2) ...

Cela devrait vous donner des idées pour la 4)

Le 3 est "évident" (pensez aux relations "bien connues" sur les coefficients binomiaux).

[psy67]

Merci de votre aide.
Pour le 1, je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir?

Pour la 3, je connait (p parmi n)=((p-1) parmi (n-1))+((p) parmi (n-1)), on pourrait alors remplacer p par p+1 et n par n-1 sauf que dans l'équation on a à faire à une multiplication des coefficient binomiaux et pas une somme..

[joel_5632]

pour la 3, il faut penser à la formule du triangle de Pascal

[A voir en vidéo sur Futura]

[joel_5632]

pour la 1, il faut se ramener à

[psy67]

Pour la 3 la formule du triangle de Pascal c'est celle-ci? triangle pascale formule.JPG
Du coup il faudrait que je la résout comme une équation du second degré? Je voit la formule avec p qui vaut p+1 mais je ne voit pas comment je peut continuer..

Pour le 1, je trouve
sommes.JPG

Après j'ai essayé quelque chose : si on pose i=k+2, on a
exercice1.JPG d'après le binôme de Newton. Est-ce que c'est faisable?

[joel_5632]

Pour le 3, la formule du triangle de Pascal , pars de au lieu de

Pour le 1, c'est qui vaut . Il te manque 2 termes, ajoute et retranche les.

[psy67]

Pour la 1 je trouve alors Sn=\frac{2^(n+2)-1-(n+2)}{(n+1)(n+2)}.
[text]\frac{2^(n+2)-1-(n+2)}{(n+1)(n+2)}[/text]

[psy67]

Pour la 1 je trouve alors
est-ce que c'est ça?

[joel_5632]

je ne sais pas. Vérifie pour quelques valeurs de n

[psy67]

J'ai essayé pour les 3 premières valeurs de n et ça fonctionne, merci !

Pour la 3, je doit partir de c'est ça? du coup je remplace dans l'équation et j'ai

Mais comment je peut m'en sortir sachant que d'un côté j'ai une somme et de l'autre un produit ?

[joel_5632]

Tu devrais savoir à quoi sont égaux la somme et le produit des racines d'une équation du 2 ème degré ax²+bx+c = 0

Somme = -b/a
produit = c/a

ici a=1

[psy67]

Je l'avait complètement oublier, mais du coup en essayant je me noie dans les calculs avec des fractions de coefficients binomiaux

[joel_5632]

Bon je donne la solution

L'équation x²-(r1+r2)x +r1.r2 à deux racines qui sont r1 et r2
produit des racines = r1.r2 = c/a
Somme des racines = r1+r2 = -b/a

donc dans ton cas les 2 racines de l'équation sont et

Il n'y avait aucun calcul à faire

[joel_5632]

Pour info, il y a des relations simples entre les racines et les coefficients d'un polynôme quel que soit le degré
https://fr.wikipedia.org/wiki/Relati...nts_et_racines

[psy67]

J'avais complètement oublié ces formules (qu'on apprend en 1ere je crois).
Effectivement vu comme ça ce n'étais pas très compliqué, il suffisais d'être astucieux, merci beaucoup