Application associé à une matrice

[SJK]

Bonsoir,
on avait un exercice et voilà le problème n a une matrice tel que Rang(A)=1 et on veut déterminer la matrice de l'endomorphisme associé à A dans une base qu'on choisira. alors on a kerA=n-1, on prend donc une base de ker composée de n-1 vecteurs (u(i))tel que i appartient à {1...n-1} et on la complète par un vecteur u(n) pour compléter une base de |K^n,et on ecrira la matrice de l'endomorphisme dans cette base, alors on a f(u(1))=0,f(u(2))=0,.....,f(u( n-1))=0, mais je comprend pas pourquoi on a écrit f(u(n))=a(1)*u(1)+a(2)*u(2)+.. ......+a(n)*u(n).
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[invite52487760]

Salut :

Sauf erreur de ma part, ... parce que, et puisque : , alors, si on prend une famille de vecteurs dans dont le nombre d’éléments dépasse , alors, ces vecteurs sont liés. On applique ce résultat à la famille : , le nombre de vecteurs dans cette famille dépasse , par conséquent, ils sont liés, ce qui justifie la présence de cette combinaison.

Cordialement.

[gg0]

N'importe quoi !

Puisque f est un endomorphisme, f(u_n) est un élément de l'espace vectoriel E considéré. Puisque (u₁, u₂, ...u_n) est une base de E, f(u_n ) est une combinaison linéaire de u₁, u₂, ... et u_n. C'est tout !

Cordialement.

[SJK]

en fait , j'ai supposé que les vecteurs de u(1) jusqu'à u(n-1) appartiennent à ker(f),et u(n) un vecteur qui complétera la base de |K^n,donc si je ne me trompe pas ils n'appartiennent pas nécessairement à Img(f) pour former cette combinaison linéaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SJK]

c'était pour commenter la réponse de chentouf

[SJK]

votre réponse est très claire( pour gg0) mais il me reste une petite confusion c'est que si dim(Img(f))=1 alors une image d'un veteur doit s'ecrire comme combinaison linéaire d'un seul vecteur.MERCI d'avance

[gg0]

" ..une image d'un vecteur doit s'ecrire comme combinaison linéaire d'un seul vecteur" de Im f. Vecteur que tu n'as pas. Enfin, si, f(u_n) est un vecteur de Im f et comme il est non nul, c'est une base de Im(f). Et f(u_n)=1.f(u_n).
Ce qui ne sert à rien !

La matrice de f est obtenue en utilisant une base de E. Pas de Im(f). Donc on utilise une base de E. C'est tout !

[invite52487760]

@SJK :

De ce que j'en sais, c'est que si , alors, cela signifie seulement qu'on peut trouver un vecteur tel que : , et puisque : , alors, il s'écrit en fonction de la base de comme suit : .

[SJK]

" ..une image d'un vecteur doit s'ecrire comme combinaison linéaire d'un seul vecteur" de Im f. Vecteur que tu n'as pas. Enfin, si, f(u_n) est un vecteur de Im f et comme il est non nul, c'est une base de Im(f). Et f(u_n)=1.f(u_n).
Ce qui ne sert à rien !

La matrice de f est obtenue en utilisant une base de E. Pas de Im(f). Donc on utilise une base de E. C'est tout !

C'est bon ,MERCI infiniment.